双曲线知识点及题型总结目录双曲线知识点 (2)1双曲线定义： (2)2.双曲线的标准方程： (2)3.双曲线的标准方程判别方法是： (2)4.求双曲线的标准方程 (2)5.曲线的简单几何性质 (2)6曲线的内外部 (3)7曲线的方程与渐近线方程的关系 (3)8双曲线的切线方程 (3)9线与椭圆相交的弦长公式 (3)高考题型解析 (4)题型一：双曲线定义问题 (4)题型二：双曲线的渐近线问题 (4)题型三：双曲线的离心率问题 (4)题型四：双曲线的距离问题 (5)题型五：轨迹问题 (5)高考例题解析 (6)练习题 (10)双曲线知识点1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-by ax 和12222=-bx ay （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.5.曲线的简单几何性质22ax －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-by ax ⇒渐近线方程⇒=-02222by ax x ab y ±=②若渐近线方程为x ab y ±=⇒0=±by ax ⇒双曲线可设为λ=-2222by ax③若双曲线与12222=-by ax 有公共渐近线，可设为λ=-2222by ax （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =ab x ，y =－ab x⑸准线：l 1：x =－ca2，l 2：x =ca2，两准线之距为2122aK K c=⋅⑹焦半径：21()aPF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）； 22()aPF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）； 当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-by a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by ax 0(≠λ⑻与双曲线12222=-by ax 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb yka x6曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的外部22221x y a b ⇔-<.7曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by ax ⇒渐近线方程：22220x y ab-=⇔x ab y ±=.(2)若渐近线方程为x ab y ±=⇔0=±by ax ⇒双曲线可设为λ=-2222by ax .(3)若双曲线与12222=-by ax 有公共渐近线，可设为λ=-2222by ax （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.8双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b ab -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y ab-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y ab-=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.9线与椭圆相交的弦长公式A B =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x kAB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k-+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x表示双曲线”的( )A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件. 3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x－202y=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x－92y=1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( ) A .22y－42x=1 B.42x－22y=1 C.42y－22x=1 D.22x－42y=1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a by ax 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C. 2 D. 3 3.过双曲线M:2221yx b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )324.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( ) A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by ax (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( ) A.1或5 B.6 C .7D.92.已知双曲线141222=-yx的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3]3.已知圆C 过双曲线92x－162y=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。

AP 是⊿AF 1F 2的外角平分线，且 P F AP 2⋅=0.则点P 的轨迹方程是 .2.双曲线x 2－y 2 =4的两焦点分别为F 1、F 2，A 为双曲线上任一点。

AP 是∠F 1AF 2的平分线，且 P F AP 2⋅=0.则点P 的轨迹是 （ ）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分3求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程高考例题解析1.已知21,F F 是双曲线1222=-yx的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为α,则PQ QF PF -+11的值为 ( )A 24B 8C 22D 随α的大小变化 答案: A 解析: 用双曲线定义列方程可解2.过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在 ( )A 0条B 1条C 2条D 3条答案: D 解析: ⊥l x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条3. 直线531+-=x y 与曲线12592=+yx x 的交点个数是 ( )A 0个B 1个C 2个D 3个答案: D 解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必与每个曲线交于两点4. P 为双曲线12222=-by ax 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆222a yx =+的位置关系为( )A 内切B 外切C 内切或外切D 无公共点或相交 答案: C 解析: 用两圆内切或外切的条件判断5. 设21,F F 是双曲线1422=-yx的两个焦点,点P 在双曲线上且满足9021=∠PF F ,则21F PF ∆的面积为( )A 1 B25 C 2 D5答案: A 解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组h 或面积公式6. 设21,F F 是双曲线1422=-yx的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F ∆的面积为1时,21PF PF ⋅的值为( )A 0B 1 C21 D 2答案: A 解析: 不妨设,p x ,0>p y 由511221=∴=⋅⋅p p y y c , )55,5302(P )55,53025(1---=∴PF ,)55,53025(2--=PF ,021=⋅∴PF PF7.过点A （0，2）可以作___条直线与双曲线x 2－42y＝1有且只有一个公共点答案：4 解析：数形结合，两切线、两交线过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．答案：C8.已知A （3，2），M 是双曲线H ：1322=-yx 上的动点，F 2是H 的右焦点，求221MF AM +的最小值及此时M 的坐标。