相似三角形的判定一．知识点讲解 1. 相似三角形的定义（1）相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，我们就称这两个三角形相似。

如图所示，ABC ∆与DEF ∆相似,记作“ABC ∆∽DEF ∆”，读作ABC ∆相似于DEF ∆ 。

（2）相似比：相似三角形对应边长度的比叫做相似比。

（3）注意：①如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。

②相似三角形相似比是有顺序的。

③全等三角形是特殊的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。

④用字母表示两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2.平行线截三角形相似的定理（1）平行线截三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

（2）数学表达式： BC DE // ABC ∆∴∽DEF ∆3.相似三角形的判定定理（1）判定定理1：AA（2）判定定理2：SAS /（3）判定定理3：SSS（4）判定定理4：HL4. 相似三角形的基本类型一线三等角型是以等腰三角形或者等边三角形为背景，三个等角的顶点在同一直线上，其中321∠=∠=∠，可根据641802,541801∠-∠-=∠∠-∠-=∠，得图中两个阴影部分三角形相似。

5. 相似三角形判定思路二．考点讲解考点1：利用相似三角形的定义判定两三角形相似1.如图所示，在ABC∆中，BCDE//.（1）求ABAD,ACAE,BCDE的值；（2）ADE∆与ABC∆相似吗？为什么？考点2：利用相似三角形的定义确定相似比2.如图，已知OAC∆∽OBD∆,且4=OA,2=AC,2=OB.求：（1）OAC∆与OBD∆的相似比；（2）BD的长。

变式练习：如图所示，ABC∆∽ACD∆,下列式子不成立的是（）A.CDBCACAB= B.ACABADAC= C.ABADAC⋅=2 D.ADACBCAB=考点3：利用平行线识别相似三角形3.如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对变式练习：如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对考点4：利用证相似三角形求线段的长4.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（）A．9cm B．14cm C．15cm D．18cm变式练习：如图，在平行四边形ABCD中，EBAE=,2=AF，则=FC .考点5：利用相似三角形对应边的比相等证明线段成比例5.如图所示，P是平行四边形ABCD的边BC的延长线上一点，AP分别交BD和CD于点M和N.求证：MPMNAM⋅=2.变式练习：如图，在梯形ABCD中，CDAB//，且CDAB2=,点E，F分别是BCAB,的中点，EF与BD相交于点M.（1）求证：EDM∆∽FBM∆; （2）若9=DB，求BM的长。

考点6：利用两角分别相等证明两三角形相似6.如图所示，在ABC∆中，AD是BAC∠的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F。

求证：ABF∆∽CAF∆.变式练习:如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE=60°．求证：△ADC∽△DEB．考点7：利用相似三角形证明等积式7.如图所示，在ABC ∆中， 90=∠BAC ,BC 的垂直平分线交BC 于点D ,交AB 于E ,交CA 的延长线于F .求证：DF DE DA ⋅=2.变式练习：已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OB OE =,连接DE 。

求证：BE DE ⊥；（2）如果CD OE ⊥，求证：DE CD CE BD ⋅=⋅.考点8：利用两边对应成比例夹角相等判定两个三角形相似8.如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，D 、E 、B 、C 在同一条直线上，且AB 2=BD•CE，求证：△ABD∽△ECA．变式练习：如图所示，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且PC BP 3=,Q 是CD 的中点。

求证：ADQ ∆∽QCP ∆考点9：利用三边对应成比例判定三角形相似9.如图，已知O 是△ABC 内一点，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点．求证：△ABC∽△DEF．变式练习：如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点10：利用直角三角形相似的判定方法判定两直角三角形相似10.已知在ABC Rt ∆与///C B A Rt ∆中， 90/=∠=∠C C ,cm AB 6=，cm AC 8.4=，cm B A 5//=，cm C B 3//=。

求证ABC ∆∽///C B A ∆.变式练习：在ABC Rt ∆和FED Rt ∆中， 90=∠C ，10=AB ,8=AC ， 90=∠D ，5=EF ，当=DF时，ABC Rt ∆∽FED Rt ∆.三．基础题型讲解基础题型1：添加条件来说明三角形相似1.如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（ ）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AB 2=AP•ACD ．CBACBP AB =变式练习:如图，21∠=∠，添加一个条件 ，使得ADE ∆∽ACB ∆基础题型2：寻找图形中相似三角形的对数2.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与对角线AC ,边AD 分别交于点E ，F 。

过点E 作BC EG //,交AB 于点G ，则图中相似三角形有（ ） A.4对 B.5对 C.6对 D.7对变式练习：如图所示，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于E ,B A CPD ∠=∠=∠,BC 交PD 于F ,AD 交PC 于G ，则图中相似三角形有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对基础题型3：相似三角形判定定理的应用3. 如图所示，在ABC ∆中，CE BD ,是高，（1）求证：ADE ∆∽ABC ∆。

（2）若EC 与BD 交于点O ，则OE D ∆∽OBC ∆.变式练习：如图所示，Rt△ABC 中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到达点B ，C ），过点D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于点E ．（1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．基础题型4：与相似三角形有关的分类讨论题4. 如图所示，点P 是锐角三角形ABC 中AB 边上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截ABC ∆，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有 条。

变式练习：如图所示M 是ABC Rt ∆的斜边BC 上异于C B ,的一定点，过点M 作直线截ABC ∆,使截得的三角形与ABC ∆相似，这样的直线共有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条基础题型5：相似三角形与函数的综合题5.如图所示，在正方形ABCD 中，2=AB ,P 是BC 边上与点C B ,不重合的任意一点，AP DQ ⊥于点Q ， （1）试说明DAQ ∆∽APB ∆；（2）当点P 在BC 上运动时，线段DQ 也随之变化。

设y DQ x PA ==,，求y 与x 之间的函数表达式。

变式练习：如图所示，ABC ∆为正三角形，E D ,分别是BC AC ,上的点（不在顶点）， 60=∠BDE .（1）求证：DEC ∆∽BDA ∆;（2）若正三角形的边长为4，并设x DC =，y BE =，试求y 与x 之间的函数表达式。

四．拔高题型讲解拔高题型1：利用“三点定形法”找相似的三角形解决问题1.已知：如图所示，CD 是ABC Rt ∆斜边AB 上的高，E 为CB 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于点F 。

求证：DF CB CF AC ⋅=⋅.拔高题型2:利用相似三角形的知识解决与反比例函数有关的问题2. 如图所示，AOB ∆是直角三角形， 90=∠AOB ，OA OB 2=，点A 在反比例函数xy 1=的图像上。

若点B 在反比例函数xky =的图像上，则k 的值为（ ） A.-4 B.4 C.-2 D.23．如图，一条直线与反比例函数y ＝xk的图象交于A （1，4）、B （4，n ）两点，与x 轴交于D 点，AC⊥x 轴，垂足为C ．（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n 的值及D 点坐标；（2）如图乙，若点E 在线段AD 上运动，连接CE ，作∠CEF=45°，EF 交AC 于F 点． ①试说明△CDE∽△EAF；②当△ECF 为等腰三角形时，直接写出F 点坐标．拔高题型3：利用相似三角形的判定和定义建立函数关系4.如图所示，在矩形ABCD 中，m AB =，8=BC ，E 为线段BC 上的动点（不与点C B ,重合），连接DE ,过点E 作DE EF ⊥,EF 与线段BA 交于点F ，设x CE =，y BF =。

（1）写出y 关于x 的函数表达式；（2）若8=m ，当x 为何值时，y 的值最大？最大值是多少？ 拔高题型4：利用相似三角形的定义进行规律探究5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=16cm ，AC=12cm ，点P 从B 出发沿BC 以2cm/s 的速度向C 移动，点Q 从C出发，以1cm/s 的速度向A 移动，若P 、Q 分别从B 、C 同时出发，设运动时间为ts ，当t 为何值时，△CPQ 与△CBA 相似？6.如图所示，已知AB ⊥BD,CD ⊥BD,AB=6，CD=4，BD=k ，点P 在BD 上移动，保持∠APC=90,但不与点B 和点D 重合。

（1）当k=14时，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P ，C ，D 为顶点的三角形与△ABP 相似？并求BP 的长． （2）已知在BD 上至少存在一个P 点，使以P ，C ，D 为顶点的三角形与△ABP 相似，求k 的取值范围．7.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S （cm2） （1）当t=1秒时，S 的值是多少？（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．拔尖题型5：和相似有关的存在型问题8.如图所示，在ABC ∆中，已知5==AC AB ,6=BC ，且ABC ∆≌DEF ∆,将DEF ∆与ABC ∆重合在一起，ABC ∆不动，DEF ∆运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于点M . （1）求证：ABE ∆∽ECM ∆；（2）在DEF ∆运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由。