湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1. 设为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为，则（）J - 1A.、B.C. 、D.【答案】B【解析】【分析】由复数^在复平面内对应的点为，得到，从而求出即可。
1 十1 ] - 1【详解】由题意知，」匚」. _「.；•.J - 1故答案为B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的几何意义，属于基础题。
2. 某商品的销售量y（件）与销售价格x（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据（Xi,yJ（i =1,2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =—5x+ 150,则下列结论正确的是（）A. y与x具有正的线性相关关系B. 若r表示y与x之间的线性相关系数，贝U r = —5C. 当销售价格为10元时，销售量为100件D. 当销售价格为10元时，销售量为100件左右【答案】D【解析】【分析】对选项逐个分析，A是负相关，B中I - ■■■■ 1, C和D中销售量为100件左右。
【详解】由回归方程 =—5x + 150可知y与x具有负的线性相关关系，故A错误；y与x之间的线性相关系数，故B错误；当销售价格为10元时，销售量为--■；；；件左右，故C错误，D正确。
【点睛】本题考查了线性回归方程知识，考查了线性相关系数，属于基础题。
3. 已知等差数列的前..项和为，若，贝U ()A. 16B. 18C. 22D. 25【解析】 【分析】% =日1 I 3d = 65(3 - l)d _ ，从而求出巧和d ,进而可以求出呗的值。
远=5a i 4 —-— = 20【详解】设等差数列 的公差为，% =日1 | 3d = 6-，解得 j i J 虹- ■<屯=孔1 + 一-一 = 20故答案为B.【点睛】本题考查了等差数列求和公式的运用，及等差数列通项公式的运用，考查了学生的 计算能力，属于基础题。
4.曲线■.I,-.■，在 处的切线方程是( )A. ■- \ - ■'B.-■' I C. ■- •：•、: D. .7 -、【答案】D 【解析】 【分析】先求出 时的函数值，然后对函数求导可以求出 时的导数值，从而得到函数在 处的切线斜率，即可得到切线方程。
【详解】当时，函数值为0，/对函数［：=■「—.求导得c' lr- ■，则函数在处的切线斜率为，X故函数在 处的切线方程为 ，故答案为D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了函数的导数，考查了直线方程的求法，属于基 础题。
5.已知点P 在抛物线y 2=4x 上，点A ( 5，3)，F 为该抛物线的焦点，则△ PAF 周长的最小值为A. 9B. 10C. 11D. 1211【解析】【分析】产一、结合图象厶PAF周长-RI - +|尸，当mi：三点共线时，△ PAF周长最小，求出即可。
【详解】由题意，画出图象（见下图），T沪，、丄一小［::，过点作准线I的垂线. 交直线11于，设F到准线的距离为，则IU .1，则厶PAF周长.:.■- 当W ：三点共线时，：「1=1取得最小值，△ PAF周长最小为•.故答案为C.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了抛物线焦半径的运用，属于中档题。
6. 已知条件条件：，则p是q的（）x - 1A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别解出两个命题所对应的不等式，结合它们的包含关系，即可选出答案。
x + 3【详解】由p命题解得' ,由q命题解得或 ' ,故p是qX - 1的充分不必要条件。
故选A.【点睛】本题考查了不等式的解法，考查了充分性与必要性的知识，考查了学生的计算能力，属于基础题。
7. 已知点（x, y）在直线x+2y=4上移动，则.的最小值是（A. B.二* C. 6 D. 8【答案】D【解析】【分析】运用基本不等式』 \卜：「弗即可得到答案。
【详解】因为宀心宀所以n ；/•八一门尸―-；堺仝，（当且仅当 .时取“=”）。
故答案为D.【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件。
8. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且十5八".，则二匚「的面24 '积等于（）A. ..B. . ：C.D.【答案】C【解析】双曲线焦点, 又十-込，「'I I i\ ,卜二叫1 = •：；,由勾股定理逆定理得二匚「为直角三角1形,面积为「：，•，•9. 直线分别与轴,轴交于•两点，点在圆I 上.则二応厂面积的取值范围是（）A. I'HB.卜」IC. . ' -D. I ■/-.：I【答案】A【解析】【分析】先求出，然后求出圆心到直线'—V的距离为），进而可以得出到直线的距离，从而求出 面积的范围。
【详解】由题意得 f 则仃 i ： ! 「，设点P 到直线■- - .= - --的距离为」卩芒止王匚的面积为.圆心为.，半径为..，则圆心到直线 八：；的距离为^―-：； '.■.，所以故选 A.10. 图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为 1,则第"代“勾股树”所有正方形的面积的和为( 【答案】 【解析】【分析】所有正方形的面积的和为 3,以此类推，可得所以正方形面积的和为 当 时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案。
由图二, 可以求出当 时，所有正方形的面积，结合选项即可排除 A B 、D 选项。
【详解】 由题意知, 当 时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2,当 时，“勾股树”；也可以通过排除法,考查了三角形面积的求法，考查了点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，属于中档题。
C. CA. B.□十 1 D.故选C.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题。
故答案为A.【点睛】本题考查了解三角形知识，构造直角三角形是解决本题的一个方法，也可以通过正、余弦定理解决本题。
12.函数 的导函数为 ，对任意的' ，都有儿「成立，则（ ）A. .B. ■■■■■C.■D.「与*大小关系不确定【答案】B 【解析】 【分析】11.在中, A.B.10兀2,边上的高等于二V ,则m （ 4' 百c 迥T 1FD.3 3 10【答案】A 【解析】 【分析】 画出图形，可知 '■ I ），设 C''，分别求出- I!-：'-=4和 ，利用两角和的正弦公式即可求解。
【详解】由题意画出图形, X 二是等腰直角三角形, .为 边上的高,AC = =上二，设，贝V FT3 ICD = BC*BD = -x-x = -x2 2设^1 < ■，则 111：：AC/H ； \ &sinA - sinl - + 61 = —sinB -\4 ) 22^5，则通过构造函数y —-,由导函数^ ,结合jl.、l ■- :.:,可知函数1.7是2 22K上的增函数，得到! ./；-■, ■■■.■ -即可得到答案.I详解】构造函数，则* — * .三亠-一，故函数是上2K的增函数，所以：.，即—，则-.2 2故选B.【点睛】本题的难点在于构造函数，由,构造是本题的关键，学生在学习中要多积累这样的方法二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1〜1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为【答案】18【解析】【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为.■ - 17 …「，即可解得.【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为x + 17*25 = 443，解得x = 1S【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题14.已知点P（x，y）的坐标满足条件x - y < 4y>x ，则点P到直线4x+3y+仁0的距离的最大x> 1值是___________【答案】3【解析】【分析】画出P （x, y）满足的可行域，作4x+3y+仁0的平行线可求出满足题意的P点，进而求出答案。
【详解】画出P（x, y）满足的可行域（见下图），由. 解得点H； : ■..,过点作4x+3y+仁【y x.一18+6+110的平行线I,可知点到直线4x+3y+仁0的距离最大为------------------- - :.故答案为3.女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数•则该小组人数的最小值为【答案】12【解析】【分析】设男学生人生为，女学生人数为，教师人数为，且，. ，可以得到，由与之间至少有2个正整数，从而讨论出的最小值，进而可以判断出该小组人数的最小值。
【详解】设男学生人生为，女学生人数为，教师人数为，且，则-；当—i.时，不成立；当"一••时，匸mw*不成立；当"-：时，6H-.2 ],则〈-：，y = 4,此时该小组的人数最小为12.【点睛】本题考查了推理的知识，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题。
16. 已知函数:.?：/ .1-： I- .1 ' ■- .X的图象关于点对称，则在闭区间丨I丨上的最大值为 ________________ .15.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件: （i）男学生人数多于2【答案】2【解析】 【分析】 由函数 的图象关于点对称，可以得到：y;，■和即可求出，的值，进而得到函数的表达式，然后通过求导可得到函数在闭区间| 「上的单调性，进而可求出函数在区间.-1「I 上的最大值。
【详解】由函数；：；■■. : I - -.,：；■/'■ - .. < - - E : ■的图象关于点 对称，则w ，J 即 巴"尽十心—: 且:■ I J . I ..- 「，即 I ；” —丨75 解得■-=-=，22,75, 5所以，则 X ： "J - J2Z ' -,32-靠 2 +百令「，解得或，Z-Z-Z-故当\ ― 或… 一 时，「;、、；■,函数 为单调递增函数;2斗丽< ------- 时，，函数为单调递减函数，2 2【点睛】本题考查了函数图象的对称性，考查了函数的单调性与最值，考查了学生分析问题 与解决问题的能力，考查了计算能力，属于难题。