东南大学工程矩阵理论期终考试试卷09
一、求C
中，V1=íç2´2的子空间V1,V2的交空间V1ÇV2及和空间V1+V2的基和维数，其ìæx
îèxyöüìæxyöü|x,yÎC,V=|x,yÎCý2íçý、
÷÷yøþîè-y-xøþ
二、欧氏空间R[x]3中的内积定义为：对"j,yÎR[x]3，
<j,y>=òjydx。

令a=1，b=x，h=x2， W=L。

-11
求h在W中的正投影，即求h0ÎW，使得-h0=min-x、 xÎW
三、在2´2矩阵空间C2´2上定义线性变换f如下：对任意矩阵XÎC2´2，
æa2aöf=ç÷，其中，a为X的迹tr。

è3a4aø
1、求f在C2´2的基E11,E12,E21,E22下的矩阵M；
2、分别求f的值域R及核子空间K的基及维数；
3、求f的特征值及相应的特征子空间的基；
4、问：是否存在C2´2的基，使得f在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？
æ1a7öç÷四、根据参数a,b不同的值，讨论矩阵
A=ç02b÷的Jordan标准形，并求矩
ç001÷èø
阵100的秩。

æöç÷五、假设矩阵A=ç002÷、
ç÷èø
1、求A的广义逆矩阵A；
At
2、求一个次数不超过2的多项式f，使得f=Ae、 +
六、假设f是n维酉空间V上的线性变换，若对任意
a,bÎV，有
b,=)a )
1、证明：在V的标准正交基下，f的矩阵为Hermite矩阵；
2、证明：存在V的一组标准正交基，使得f的矩阵为对角阵。

七、假设s´n矩阵A的秩为r
，证明A2£AF£2。

八、假设A是AÎC+s´n的广义逆矩阵，证明：Cn=KÅR，其中，
K,R分别表示矩阵A的核空间和A+的值域、
九、假设A,B都n阶Hermite矩阵、
1、如果A是正定的，证明：存在可逆矩阵C，使得
CHAC,CHBC都是对角阵；
2、如果A,B都是半正定的，并且A的秩r=n-1，证明：存在可逆矩阵C，
使得CHAC,CHBC都是对角阵。