Ｂ Ｄ Ｃ
· Ｏ
Ａ
3、已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。求证：AC=BD
如图： ⊙Ｏ的直径AB垂直于弦CD,AB与CD相交于点 E，∠ COD＝1000，求BC,AD的度数 解:∵OC=OD,OE⊥CD
A
∴∠1= ∠2 ∵∠COD=1000 ∴∠1=∠2=500
D ⌒ ⌒ ∴BC=500 BD=500 ⌒ ⌒ ⌒ ∴AD=ADB-BD =1800-500 =1300
( √ ) ( ) ( ) ( √ )
5.大小不等的两个圆中不存在等弧( √ )
4. 圆中有几条弦?圆中以A为一个端点 的优弧有几条?劣弧有几条?
D
B E
O
C A
6.如图,两个同心圆的圆心为O,大圆的 半径OC,OD交小圆于A,B,求证:AB//CD.
O
A
B
C
D
圆的认识
2.垂径定理
圆的对称性
AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt△AOE中
2 2
O
·
AO OE AE
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
·
C
A
如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.
D F A O
B
I
E C
优弧：ACD,ACF,ADE,ADC 劣弧AC,AE,AF,AD
圆心相同，半径不相等的两圆叫做同心圆 .
能够互相重合的两个圆叫等圆.
在同圆或等圆中， 能够互相重合的两个弧叫等弧.
巩固练习
1、下列说法错误的有（ A ） ①经过一点Ｐ的圆有无数个； ②以Ｐ为圆心的圆有无数个； ③半径为３ｃｍ且经过Ｐ点的圆有无数个 ④以Ｐ为圆心，以３cm为半径的圆有无数个． Ａ１个 Ｂ２个 Ｃ３个 Ｄ４个 2、填空: 与已知点A的距离为3cm的所有点组成的图形 是 以A为圆心，半径为3cm的圆。
圆
“一切立体图形中最美的是球形，
一切平面图形中最美的是圆形.” ---------毕达哥拉斯
人民币
美圆
英镑
生活离不开圆
圆是我们的好朋友

圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象 .
圆的认识
1.圆的基本元素
圆的概念
线段OA绕它固定的一个，端点O旋转一周，另一个端 点A所形成的图形叫做圆．
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
(3)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,
当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方 形？为什么？ Ｄ Ａ Ｃ Ｏ Ｂ
试一试

1.如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于点M，且PM
1 ＝OM，求证： AP= BQ 3
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中 有一组量相等，那么它们所对应的其 余的各组量都分别相等。
延伸 整体理解： (1) 圆心角 B 知 一 得 三
α
(2) 弧
(3) 弦 (4) 弦心距
Oα A′ B′
A
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD 的弦心距，根据本节定理及推论填空：
O 1 2 C E
B
例1：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结
OA,OB,OC。
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC Ａ
的度数分别为__________ 0 1200 ,1200 ,120
(2)若⊙O的半径为r,则等边 ABC三角形的边长为_______ 3r Ｂ
Ｏ Ｃ
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结
A
B
证明:∵OA=OC ，OB=OD，
∠AOB=∠COD,
∴ 当点A与点C重合时，
点B与点D也重合。 ∴
⌒ ⌒ ∴ AB = CD。 D
o
C
AB=CD，
圆心角定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
条件
在同圆或等圆中 那么 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等 圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的弦心距相等
（1）如果AB=CD，那么
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _____________,________,____________。
（2）如果OE=OF，那么
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD _____________,________,____________。 ⌒ ⌒ （3）如果AB=CD 那么
OA,OB,OC。
(3)延长AO，分别交BC于点P， ⌒ BC于点D,连结BD,CD。试判 断四边形BDCO是哪一种特殊 四边形，并说明理由。 Ｂ
Ａ
Ｏ Ｐ
Ｃ
Ｄ
已知等边三角形ＡＢＣ的边长 为 2 3cm ． 求它的外接圆半径．
Ａ
Ｏ Ｂ Ｃ
例1 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外， 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。 求证：AB=CD
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
已知:如图∠AOB=∠ COD, ⌒ 求证: AB=CD， = CD。 AB ⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF ______________,__________,____________。
（4）如果∠AOB=∠COD，那么 ⌒ ⌒ OE=OF AB=CD AB=CD _________,________,_________。
2.已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ． 求证：ＡＤ＝ＢＣ
B M P N E
B C P
A M N D
E
.
O D
.
O
F
F
例2：如图, AB、CD是⊙O的两条直径。 (1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什 么特殊四边形？为什么？ (2)若直径为10cm， ∠AOD=1200，求四边形 ACBD的周长和面积。 Ｃ Ｄ
Ａ
Ｏ
Ｂ
例3：如图, AB、CD是⊙O的两条直径。

圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条 对称轴？你是用什么方法解决上述问题的? 圆是轴对称图形.
O
●
圆的对称轴是任意一条经 过圆心的直线,它有无数 条对称轴.
圆是轴对称图形。任何一条直径所在
的直线都是它的对称轴．
垂径定理及逆定理
垂径定理：垂直于弦的 直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．


O B
(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
（7）平分弦的直径垂直于弦
C B O A C B C O A D A O E D (6)
B
(4)
(5)
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： OE
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
B
o
C
如果： ∠AOB=∠ COD
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、 弧有什么关系？ A
C
·
O
E A D B
平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理
C
A
└ M
●
O
CD是直径, CD⊥AB, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ B AM=BM, AC =BC, AD=BD.
D
课堂讨论
① ③ 根据已知条件进行推导： ①过圆心 ② ②垂直于弦 ③ ③平分弦 （不是直径） ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)半径相等的两个圆是等圆.