2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: F 2( x z y z ) 2 x y ( x y z V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
例6. 求旋转抛物面
与平面
之间的最短距离. 则P 为抛物面 z x 2 y 2 上任一点， 解: 设 到平面 x y 2 z 2 0 的距离为 问题归结为 目标函数: ( x y 2 z 2) 2 (min) 约束条件: x 2 y 2 z 0 作拉氏函数
说明F(x, y,)的可能极值点为上述方程组确定的(x, y).
dy x ( x, y) 另一方面, ( x , y) 0确定了y ( x ),且 dx y ( x, y)
而z f ( x , ( x ))的可能极值点为满足 dz 0的点,同时 ( x , y ) 0 dx f x y f y x 0 dz dy 又 f x f y , 即 . dx dx ( x , y ) 0
z 使在条件 x y z V0 下水箱表面积 S 2( x z y z ) x y
最小. 令 F 2( x z y z ) x y ( x y z V0 )
z
x
y
2z y y z 0
解方程组
2z x x z 0
2( x y) x y 0 x y z V0 0
2 2
例2. 有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成一个
断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面面积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 为 ( 24 2 x 2 x cos ) x sin 2
24 x sin 2 x 2 sin x 2 cos sin ( D : 0 x 12 , 0 ) 2
高等数学A
第6章多元函数微分学
6.3 多元函数微分的应用
6.3.3 多元函数的极值（2-2） 6.3.4 条件极值—拉格朗日乘数法则
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
6.3 多元函数微分的应用
多 元 函 数 的 乘极 数值 法条 则件 极 值 6.3.3 多元函数 的极值（2-2）
多元函数的最值问题 多元函数的最值问题习例 条件极值
解出(x,y)即为可能极值点. 判断是否为极值点通 常由实际问题来定.
( 2) 求u f ( x , y, z )在 ( x , y, z ) 0条件下的可能极值点 :
构造函数 F ( x , y, z , ) f ( x , y, z ) ( x , y, z ), Fx f x x 0 F f 0 y y y 解出(x,y,z)即为可能极值点. 令 Fz f z z 0 F ( x , y, z ) 0
二、条件极值和Lagrange乘数法
1. 条件极值
自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制， 这种情况下的极值称为条件极值.
相应地，前面讨论的极值称为无条件极值. 条件极值与无条件极值的区别和联系，例如
(1)求z x 2 y 2的极值
( 2)求z x 2 y 2在x y 1条件下的极值
2 2 x y 2 x y

令
Ax 2( y
Ay 2( x
2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2 高为 3 23 3 2 时, 水箱所用材料最省.
解. (1) 显然函数在（0，0）点处取得极小值.
( 2)( 0,0)点不可能是极值点 .0 0 0 1
把y 1 x代入z x 2 y 2得 z 2 x 2 2 x 1
1 1 1 当x 时, y , 此时z取得极小值 . 2 2 2
可见，两种极值不同，但条件极值可转化为无条件 极值来求， 称为“降元法”； 并非所有条件极值都能用“降元法”解， 为此必须介绍新的方法.
x2 y2 z2 例 8. 在第一卦限内作椭球面 2 2 2 1的切平 a b c
面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小， 求切点坐标.
与平面
例5. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
(2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点.
2.多元函数的最值问题习例 例1. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 例2. 有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成一个
( 3) 求u f ( x , y)在
( x , y) 0, ( x , y) 0条件下的可能极值点:
构造函数 F ( x , y, , ) f ( x , y) ( x , y) ( x , y).
3. Lagrane乘数法 习例 例5. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 例6. 求旋转抛物面 之间的最短距离. 例7. 三个正数的倒数和为1，求使三个正数和为最 小的三个正数.
4 得唯一驻点 x y 2z 3 2V0 , 3 2V
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
思考:
V0 , 4
z
y
1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x
提示: 利用对称性可知, x y z 3 V0
F ( x, y, z ) ( x y 2 z 2) 2 ( z x 2 y 2 )
F ( x, y, z ) ( x y 2 z 2) 2 ( z x 2 y 2 )
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
1 1 ( , )为最大值点 . 3 3
1 最大值为 . 3 3
例4. 把一个正数a表为三个正数之和，使其乘积最大，
求这三个数.
解. 可设三个数为 x, y, a x y, 且0 x a,0 y a.
则 z xy( a x y)
z x y( a x y ) xy( 1) z y x ( a x y ) xy( 1) z x y( a 2 x y ) 0 a 得x y 令 3 z y x( a x 2 y) 0 a a 从而( , )为唯一驻点 , 根据实际问题存在最大 值, 3 3 a a 故在x y 时, 即三个数为 时其乘积取得最大值 . 3 3
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故

7 4 6
例7. 三个正数的倒数和为1，求使三个正数和为最小 的三个正数. 解.
解得:
sin 0 , x 0 12 2 x x cos 0 2 2 24 cos 2 x cos x(cos sin ) 0 60 , x 8 (cm) 3
由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有
一个驻点, 故此点即为所求.
断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面面积最大.
2 2 2 2 例3. 求z xy 1 x y 在x y 1, x 0, y 0内的最大值 .
例4. 把一个正数a表为三个正数之和，使其乘积最大，
求这三个数.
例1. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 x2y m , 则水箱所用材料的面积为
1 1 1 设F ( x , y, z , ) x y z ( 1) x y z Fx 1 2 0 x 2 2 1 2 x y z Fy 1 2 0 2 2 2 y x y z 令 F 1 0 x yz z 2 z x y z 3 F 1 1 1 1 0 x y z ( 3, 3, 3)为唯一驻点 , 又实际问题存在最小值 ,
注意: (1) Lagrange乘数法: 要找 z f ( x , y)在 ( x , y) 0条件下的可能极值点 ,
先构造拉格朗日函数F ( x, y, ) f ( x, y) ( x, y),
Fx f x x 0 令 Fy f y y 0 F ( x , y ) 0
2. Lagrane乘数法
考虑z f ( x , y)在 ( x , y) 0条件下的可能极值点 .
一方面, 作函数F ( x , y, ) f ( x , y ) ( x , y ), 求其可能极值点 , Fx f x x 0 f x y f y x 0 令 Fy f y y 0 即 ( x , y ) 0 F ( x, y) 0
2
2
x
1 x y
且(
2 2 2 x y 1 即 , 2 2 x 2 y 1