五年级奥数计数之对应法学生版将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来,只要能建立一一对应的关系,那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式． 模块一、图形中的对应关系【例 1】 在8×8的方格棋盘中,取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图）,一共有多少种不同的方法？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时,常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法,有一个点与之对应,这就是图中的A 点,它是棋盘上横线与竖线的交点,且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系 从下图可以看出,棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L ”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上,内部有7×7=49（个）交叉点, 第4步：按照对应关系,给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中,以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色,这是因为两个白格不相邻,所以不能在中间．显然,位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况,一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况,位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中,位于棋盘内部的18个,位于边上的有12个,位于角上的有2个,所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上,每一行都有6个13⨯长方形,所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性,因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系,这说明它们各占一半,因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格,共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】如图,将纸片中的一个特殊方格染为黑色,66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时,纸片有4种不同的放法,共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时,纸片的位置随之确定,即只有1种放法,此类放法有4416⨯=种．所以,纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 3】图中可数出的三角形的个数为．【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4星【题型】填空【解析】这个图不像我们以前数三角形那样规则,粗看似乎看不出其中的规律,不妨我们取出其中的一个三角形,发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上,而每三条大线段也正好能构成一个三角形,因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系,图中一共有8条大线段,因此有3856C=个三角形．【答案】56个三角形【例 4】 如图所示,在直线AB 上有7个点,直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中,任意3条线段都不相交于同一个点,求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答C D BA【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点,每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段,然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示,如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ,而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点,同时,对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点,所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明,为了计数出有多少个交点,我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点,直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上,点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题,可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式,线段PQ 有2936C =种选择方式,根据乘法原理,共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数,满足个位上的数字比千位数字大,千位数字比百位大,百位数字比十位数字大？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确,而对于从0～9中任意选取的4个数字,它们的大小关系也是明确的,那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大,所以千位不能为0,本身已符合四位数的首位不能为0的要求,所以进行选择时可以把0包含在内),也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系,那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个． 【答案】210个【巩固】 三位数中,百位数比十位数大,十位数比个位数大的数有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字,然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上,前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和,如3,12+,21+,111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 我们将1999个1写成一行,它们之间留有1998个空隙,在这些空隙处,或者什么都不填,或者填上“＋”号．例如对于数3,上述4种和的表达方法对应：1 1 1,1+1 1,11+1,1+1+1．可见,将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系,而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能,因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘种．【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3,并且是3的倍数的五位数共有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【关键词】小学数学竞赛【解析】 五位数共有90000个,其中3的倍数有30000个．可以采用排除法,首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择,第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后,如果它们的和除以余数为0,则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1,则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2,则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了,第五位数码都有3种选择,所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个．所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张,每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票,其中5个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法,使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱,必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中,拿1元的要比拿2元的人数多,先将拿1元钱的小朋友看成是相同的,将拿2元钱的小朋友看成是相同的,可以利用斜直角三角模型．在下图中,每条小横线段代表1元钱的小朋友,每条小竖线段代表2元钱的小朋友,因为从A 点沿格线走到B 点,每次只能向右或向上走,无论到途中哪一点,只要不超过斜线,那么经过的小横线段都不少于小竖线段,所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法,可求出从A 到B 有42种走法．AB 424228145141494553221111111 但是由于10个小朋友互不相同,必须将他们排队,可以分成两步,第一步排拿2元的小朋友,5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友,也有120种排法,所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样,使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定）,思思洗好的碗一个一个往上摞,学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞,思思一边洗,学学一边拿,那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【关键词】学而思杯,5年级,第7题【解析】 方法一：如下所示,共有42种不同的摞法：54321----,45321----,35421----,53421----,34521----,54231----,45231----,25431----,52431----,24531----,52341----,25341----,23541----,23451----,54312----,45312----,53412----,35412----,34512----,54132----,45132----,15432----,51432----,14532----,51342----,15342----,13542----,13452----,54123----,45123----,15423----,51423----,14523----,12543----,51243----,15243----,12453----,12354----,12534----,15234----,51234----, 12345----。