《机械优化设计》复习题及答案、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。

2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子 ________ 。

3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。

4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。

5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。

16、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。

27、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。

8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。

9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。

10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。

11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜索区间[a,b] [ 10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。

12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。

14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10x1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形2式 ________________________ 。

15、存在矩阵H，向量d1，向量d2,当满足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是关于H共轭。

16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r数列，具有____________ 由小到大趋于无穷 ________________ 特点。

17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 _____________ 。

1、下面________ 方法需要求海赛矩阵A、最速下降法B、共轭梯度法C、牛顿型法D、DFP法2、对于约束问题min f X2X12x4x24g1 X x2X2 1 0g2 X3X10g3 X X20根据目标函数等值线和约束曲线，判断X1 [1,1]T为为 ____________ 。

A •内点；内点B. 外点；外点C. 内点；外点D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解___________ 化问题。

A无约束优化问题B只含有不等式约束的优化问题C只含有等式的优化问题D含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索，搜索区间为[a, b],中间插入两个点a1、b1, a1<b1,计算出f(a1)vf(b1), 则缩短后的搜索区间为 _____________ 。

A [a1, b1]B [ b1, b]C [a1, b]D [a, b1]5、_________ 是优化设计问题数学模型的基本要素B约束条件C目标函数D最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k- a H k V f(x k)，下列不属于H k必须满足的条件的是。

A. H k之间有简单的迭代形式B. 拟牛顿条件C. 与海塞矩阵正交D. 对称正定7、函数f (X)在某点的梯度方向为函数在该点的_____________ 。

A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向&下面四种无约束优化方法中，_____________ 构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。

A梯度法B牛顿法C变尺度法D 坐标轮换法9、设f(X)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f (X)在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处_______ 。

A正定B 半正定C负定D半负定10、__________________________________________________________________________ 下列关于最常用的一维搜索试探方法一一黄金分割法的叙述，错误的是 ________________ 假设要求在区间［a，b］插入两点a、a，且a<a。

A、其缩短率为0.618B、a=b-入(b-a)C、a=a+ \ (b-a)D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

11、与梯度成锐角的方向为函数值上升方向，与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值不变方向。

A、上升B、下降C、不变D、为零12、二维目标函数的无约束极小点就是___________ 。

A、等值线族的一个共同中心B、梯度为0的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点13、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为__________ 向量。

A相切B 正交C成锐角D共轭14、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是_________ 。

A可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。

B惩罚因子是不断递减的正值C初始点应选择一个离约束边界较远的点。

D初始点必须在可行域内15、通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是A牛顿法B梯度法C共轭梯度法D变尺度法16、一维搜索试探方法一一黄金分割法比二次插值法的收敛速度A、慢B、快C、一样D、不确定17、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是。

A需要求海赛矩阵B除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度C共轭梯度法具有二次收敛性D第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度三、问答题1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区答：搜索的原理是：区间消去法原理区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。

这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。

2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？答，基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数一一惩罚函数求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。

答主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近似值4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。

答：最速下降法此法优点是直接、简单，头几步下降速度快。

缺点是收敛速度慢，越到后面收敛越慢。

牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。

缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大。

5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。

四、解答题1、试用梯度法求目标函数f（X）=1.5x I2+0.5X22- x i x2-2x i的最优解，设初始点x（0）=[-2，4]T, 选代精度& =0.02（迭代一步）。

f (A*)= JOCw J - J $0u k *26 =-0H 470«2、 试用牛顿法求f( X )=(x I -2)2+(X I -2X 2)2的最优解，设初始点X (°)=[2,1]T 。

3、 设有函数f(X)=x i 2+2x 22-2x i X 2-4x i ,试利用极值条件求其极值点和极值。

4、 求目标函数f( X )=x i 2+x i x 2+2x 22 +4X 1+6X 2+10的极值和极值点。

5、试证明函数 f( X )=2X I 2+5X 22 +X 32+2X 3X 2+2X 3X I -6X 2+3 在点[1，1，-2]T 处具有极小值。

J*,-2». in<.+Zr t -6二射卯疔対氐_ "111二几 * 2.1; t 2x■M nt-＞4 于iJtut 曲垦吾为豐■n ：1、期初始点严・[Y 4f12■ -2+4«“ 斗 § 1 -0術沿卩棵殳方灯许"幵占素・(=-21246 ■ ■IMq 为甫性'購购卄步tc f) = 306o ：TSX ¥26Bit 门 11 > = mi n f^nr^fp [rr.,) - fJ :fcil-i 十％ 』-切“ 审一17翌 £j_竺亦应T fi.rr,2LL£2吋2)・-x'-dT.y^r)- 3」.卜刖＜51山*釦一阶斗fitJf ：二^主子式)晦Mfr6、给定约束优化问题min f(X)=(x I-3)2+(X2-2)2s.t. g i(X)= —x i2—X22+ 5> 0g2(X)= —x i —2x2 + 4> 0g3(X)= x 1 > 0g4(X)=x 2> 0验证在点X [2,i]T Kuhn-Tucker条件成立。

7、设非线性规划问题min f (X) (% 2)2x；s.t. g i(X) % 0g；(X) x；0g3(X) x2x f 1 0用K-T条件验证X* 1,0 T为其约束最优点10、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转, 造一个无盖的箱子，问如何截法（x取何值）才能获得最大容器的箱子。

试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

这个简即的垠优化I--J题⑴把箱了的容枳VU成变屋参数兀的西数，V=x（6-2v）:t 得极大点i歯数扱大从而蕊得四边氏1血的正力形使折转的箱子容积最Ait£方案口11、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

12、一根长I的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

4.设以2的比例截収铅丝，能便何题达到故优艸如圏斯示’其中竺二2,解得：AC二Cft = —CB 1 + 2 3-F2折成的圆形磊方形的血枳Z和为,S=竝2兀(1 + 畀~ +[4(l + z)]1 +2 16 4^则这个问題的优化数亍模型均：/(X) =-(—+—) -> minl + Z 16 4^s.t A > 0 13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。