专题：几何翻折变换（折叠问题）
1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．
（1）求证：△ABG≌△C′DG；
（2）求tan∠ABG的值；
（3）求EF的长．
3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。
在Rt △OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t 。
∵OP 2=OB 2+BP 2，即（2t ）2=62+t 2，解得：t 1
=t 2=
－（舍去）．∴点P
的坐标为（ ，6）。
（Ⅱ）∵△OB′P 、△QC′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，
∴△OB′P ≌△OBP ，△QC′P ≌△QCP 。
∴∠OPB′=∠OPB ，∠QPC′=∠QPC 。
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。
∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ 。
又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP ∽△PCQ 。
∴OB BP PC CQ
=。
由题意设BP=t ，AQ=m ，BC=11，AC=6，则PC=11－t ，CQ=6－m ． ∴
6t 11t 6m =--。
∴2111m t t 666
=-+（0＜t ＜11）。
（Ⅲ）点P
，6
，6）。
2、（1）证明：∵△BDC′由△BDC 翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD ，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE 。
在△ABG ≌△C′DG 中，∵∠BAG=∠C ，AB= C′D ，∠ABG=∠AD C′，∴△ABG ≌△C′DG （ASA ）。
（2）解：∵由（1）可知△ABG ≌△C′DG ，∴GD=GB ，∴AG+GB=AD 。
设AG=x ，则GB=8﹣x ，在Rt △ABG 中，∵AB 2+AG 2=BG 2，即62+x 2=（8﹣x ）2，解得x=74。
∴7
AG 74tan ABG AB 624
∠===。
（3）解：∵△AEF 是△DEF 翻折而成，∴EF 垂直平分AD 。
∴HD=
12AD=4。
∵tan ∠ABG=tan ∠ADE=724。
∴EH=HD×724=4×77=246。
∵EF 垂直平分AD ，AB ⊥AD ，∴HF 是△ABD 的中位线。
∴HF=
12AB=12×6=3。
∴EF=EH+HF=7
25+3=66。
3、解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过A （﹣1，0），B （4，0）两点，
∴a b+2=016a+4b+2=0-⎧⎨⎩，解得：1a=23
b=2
⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩。
∴抛物线解析式为213y x x 222=-++。
当y=2时，213x x 2222
-++=，解得：x 1=3，x 2=0（舍去）。
∴点D 坐标为（3，2）。
（2）A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能：
①当AE 为一边时，AE ∥PD ，∴P 1（0，2）。
②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等，∴P 点的纵坐标为﹣2。
代入抛物线的解析式：213x x 2222-++=-，解得：123+41341x x 22-==，。
∴P 点的坐标为（3+412，﹣2），（3412
-，﹣2）。
综上所述：P 1（0，2）；P 2（3+412，﹣2）；P 3（3412-，﹣2）。
（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方。
设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（21
3a a a 222
-++ ，）， ①当P 点在y 轴右侧时（如图1），CQ=a ，PQ=2213132a a 2=a a 2222⎛⎫--++- ⎪⎝⎭。
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP ，
∴Q C Q P =CO FQ '''，即21 3 a a a 22= 2FQ '
-，解得F Q′=a ﹣3 ∴OQ′=OF ﹣F Q′=a ﹣（a ﹣3）=3，2222CQ=CQ = CO +OQ =3+2=13'' 。
此时a=13，点P 的坐标为（9+313132
- ，）。
②当P 点在y 轴左侧时（如图2）此时a ＜0，，21
3a a 222
-++＜0，CQ=﹣a ， PQ=2213132a a 2=a a 222
2⎛⎫--++- ⎪⎝⎭。
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°。
∴△COQ′∽△Q′FP 。
∴Q C Q P =CO FQ '''，即21 3 a a a 22= 2FQ '
--，解得F Q′=3﹣a 。
∴OQ′=3，22CQ=CQ = 3+2=13'。
此时a=﹣13，点P 的坐标为（9313132
--- ，）。
综上所述，满足条件的点P 坐标为（9+313132- ，），（9313132
--- ，）。