2
2
驻波方程
驻波方程
y 2Acos 2 x cos2t
驻波的振幅与位 置有关
各质点都在作同频 率的简谐运动
驻波表达式中 x 和 t 分别出现在两个因子中，并不 表现为 (t x /或u) (t x /的u形) 式，所以它不是一个
行波表达式，而实际上是一个振动表达式。
合成波为振幅是
2Acos 2
波节
a
当
cos 2π x 0
时
A 0
x (2k 1) ( 的奇数倍) (k 0,1,2，)
44
波腹
b 当 cos 2π x 1 时 A 2A
x 2k
4
( 的偶数倍)
4
(k 0,1,2，)
波节和波腹的位置
波腹
y
4
2
波节
4
4
3
5 x
4
4
相邻波节距离：xk1
xk
2k
1 1
4
2k
1
4
2
相邻波腹距离： xk1
结论
xk
k
1
2
k
2Leabharlann 2相邻波腹（节）间距 2
相邻波腹和波节间距 4
除波节、波腹外，其它各点0<振幅<2A
讨论 (2)相位分布
y
y (2Acos 2π x)cos t Acos t
4
4
x ( , ),cos 2π x 0
44
3
4
5
x
4
2
y (2Acos 2π x) cost
y
波疏介质 波密介质
入射波
驻波
O
x
反射波
2
由波疏介质入射, 在波密介质界面上反射, 在界面
处, 反射波的振动相位总是与入射波的振动相位相反，
即差了; 形成驻波时, 总是出现波节.
相位差了
，相当于波程差了
2
,称为“半波损失”.
相位跃变（半波损失） 波疏介质 波密介质
波
波
疏
密
介
介
质
质
u
u
较
较
小
大
相位跃变（半波损失）
（c）在OA之间波节和波腹的位置坐标. y 12
O
L
A
x
解 （a）设反射波方程为
y2
103
cos[200π(t
x) 200
0 ]
(m)
由式（1）得A点的反射振动方程
y1A
103
cos[200π(t
L) 200
π]
(m)
（2） （3）
y 12
O
L
A
x
由式（2）得A点的反射振动方程
y2 A
103
长 l 应满足
l n n ,
2
n
nu 2l
n 1,2,
这种振动方式称为弦线振动的简正模式.
本征频率
n
n u 2l
n
2l n
n 1,2,3
（基频，谐频）
两端固定的弦振动的简正模式
l n n
2
n 1,2,
l 1
2
l 22
2
l 33
2
一端固定一端自由的弦振动的简正模式
l (n 1) n n 1,2,
驻波的能量
位移最大时
波
节
x
dWp
(y )2 x
波
腹
x
dWk
(y )2 t
A B C 平衡位置时
驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化, 在相 邻的波节间发生动能和势能间的转换, 动能主要集中在
波腹, 势能主要集中在波节, 但无能量的定向传播.
驻波与行波的区别
振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长 n 和弦线
cos[200π(t
L) 200
0 ](m（) 4）
由式(3)和式(4)得：
舍去
0 0
2πL π 2
π
-3.5π
-4π
π 2
所以反射波方程为：
y2
103
cos[200π(t
x) 200
π] 2
(m)
（b） y （c） 令
y1 y2 2103 cos(πx cos(πx π ) 0
4
x
的同频率简谐振动。
讨论 (1) 振幅分布
驻波方程
y 2Acos2π x cos2π t
振幅 2Acos 2π x 随x 而异,与时间无关
波节
波腹
当振幅
2A
cos
2x
0
，x对应的质点始终不动（波节）
当振幅
cos
2x
1
，x对应的质点振动最强（波腹）。
波节和讨波论腹-的驻位波置的波节A和 2波Aco腹s2 π x
10-5 驻 波
驻波实验
弦线上的驻波：
实验——弦线上的驻波：
如图所示，弦线的一端固定在音叉上，另 一端通过一滑轮系一砝码，使弦线拉紧，现让 音叉振动起来，并调节劈尖B至适当位置，使 AB具有某一长度，可以看到AB上形成稳定的 振动状态。
驻波的定义
两列振幅相同的相干波沿相反方向传播时互相叠 加而成的波，称为驻波
π) cos(200πt 4
π) 4
得波节坐标 x n 1 (n 0,1,2,)
4
x ≤ 2.25 m x 0.25 m,1.25 m,2.25 m
令 cos(πx π ) 1 4
得波腹坐标 x n 1
(n 1,2,)
4
x ≤ 2.25 m x 0.75 m,1.75 m
说明：驻波是干涉的一种特殊情况。
驻波的形成
驻波方程
设两列沿同一直线相向传播的同振幅相干波,
入射波
y1
A cos2
t T
x
y1
反射波
y2
A
cos2
t T
x
y2
y y1 y2
u x
ux
A
cos2
t T
x
A
cos2
t T
x
2Acos2 x cos2 t
T
cos cos 2cos cos
x ( , 3 ),cos 2π x 0
44
y (2 A cos 2π x) cost
(2 A cos 2π x) cos(t π)
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
结论二 一波节两侧各点振动相位相反
相位跃变（半波损失）
波密介质：密度与波速u的乘积 u（波阻）较大的介质.
波疏介质：密度与波速u的乘积 u （波阻）较小的介质.
22
l 1 4
l 32
4
l 53
4
例 如图, 一列沿x轴正向传播的简谐波
方程为
y1
103
cos[200π(t
x )] 200
(m) （1）
在1、2两种介质分界面上点A与坐标原点O 相距L=2.25 m.已知介质2的波阻大于介质1 的波阻,假设反射波与入射波的振幅相等, 求：
（a）反射波方程; （b）驻波方程;