九年级数学解直角三角形的总复习华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：解直角三角形的总复习二. 教学目标：1. 掌握锐角三角函数的概念及性质。

2. 提高学生灵活应用锐角三角函数知识解直角三角形。

3. 提高学生解直角三角形的知识与方法在实际问题如，航海、测量等方面的应用，培养学生空间想象能力、作图能力、分析能力和计算能力。

三. 教学过程：（一）知识的回顾：1. 锐角三角函数的概念：在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90， 则sin cos tan cot A BC A AC A BC A AC====，，，注意的问题：（1）锐角α，应满足0101<<<<sin cos αα，。

（2）锐角三角函数的概念是建立在直角三角形中，因此应学会构造直角三角形。

例1. （1）在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，AC BC ==34，，则cos B 的值为（ ）A.45B.35C. 43D. 34点拨：在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，AC BC ==34，∴=+=∴=AB AC BC B 22545cos答案：A（2）在∆ABC 中，AB AC BC ===32，，则6cos B 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 33 D. 23 点拨：在∆ABC 中，AB AC =，过A 点作AD BC ⊥于D 则BD CD B BD AB ==∴==113，cos 答案：B（3）在四边形ABCD 中，∠=︒∠=∠=︒==A B D BC AD 13590232，，，，则四边形ABCD 的面积是（ ）点拨：延长BA 、CD 交于E ，得Rt EAD ∆和Rt EBC ∆ ∠=︒∴∠=︒-∠-∠-∠=︒A C A B D 13536045， ∴∆BEC 和∆EAD 均为等腰直角三角形S S EBC EAD ∆∆=⋅⋅==⨯⨯=122323612222 ∴=-=-=S S S ABCD EBC EAD 四边形∆∆624答案：C（4）已知圆O 的半径为5，AB 是弦，P 是直线AB 上的一点，PB AB ==38，，则tan ∠OPA 的值为（ ）A. 3B. 37C.13或73D. 3或37点拨：过O 点作OC AB ⊥于C 则AC CB ==4，而PB =3 ∴点P 可在圆O 外或圆O 内在∆OCP 中， OC CP ==31，或CP =7 ∴∠==tan OPA OC CP3或37答案：D（5）在∆ABC 中，∠=︒C 90，若∠=∠B A 2，则cot B 等于（ ）A.3B.33 C. 32 D. 12点拨：在∆ABC 中，∠=︒∴∠+∠=︒C A B 9090， 即：3903060∠=︒∴∠=︒∠=︒A A B ，，∴=︒=cot cot B 6033答案：B（6）在Rt ABC ∆中，∠=︒⊥ACB CD AB 90，于D ，AC =22，AB =23，设∠=BCD α，那么cos α的值是（ ）A. 22B. 2C. 23D.63点拨：在Rt ABC ∆中，∠=︒ACB 90 ∠+∠=︒αACD 90CD AB ⊥于D ，∠+∠=︒ACD A 90 ∴∠=∠αA 则cos cos α====A AC AB 222363答案：D（7）已知AB 和CD 分别是半圆O 的直径和弦，AD 与BC 交于点E ，若∠=AEC α，则S S CDE ABE ∆∆:等于（ ） A. sin 2αB. cos 2αC. tan 2αD. cot 2α点拨：连结AC ，由∆∆ECD EAB ~可得S S CD AB EC AE CDE ABE ∆∆=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪22又AB 为圆O 直径，∴∠=︒ACB 90 cos cos αα=∴=CEAES S CDEABE∆∆2 答案：B例2. 某电信部门计划修建一条连结B 、C 两地的电缆，测量人员在山脚A 测得B 、C 两地的仰角分别为3045︒︒、，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200m ，电缆BC 至少长多少米？（精确到01.m ）解：作CH AF ⊥于H ，过B 作BD AF ⊥于D BE CH ⊥于E ，设BC x m =() 在Rt BCE ∆中，BE BC x =︒=cos6012CE BC x =︒=sin 6032在Rt ACH ∆中，AH CH =︒=tan45200∴=-=-=-AD AH DH AH BE x 20012BD EH x ==-20032在Rt ABD ∆中，∠=︒∴=︒BAD BD AD 3030，tan由此得，200322001233-=-⋅x x () 解得x =-≈2003200147答：电缆BC 至少需要147米。

例3. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得，从A 、D 、C 三点可看到塔顶端（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下： a. 测量数据尽可能少。

b. 在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上。

（如果测A 、D 间距离，用m 表示，若测D 、C 间的距离，用n 表示，若测角用αβγ、、表示） （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG 。

（用字母表示，测倾器高度忽略不计） 点拨：（1）方案，如图，只需测三个数据。

（2）设HG x =，在Rt CHG ∆中，CG x =cot β 在Rt DHM ∆中，DM x n =-()cot α ∴⋅=-⋅x x n cot ()cot βα ∴=⋅-x n cot cot cos ααβ例4. 如图：一轮船原在A 处，它的北偏东45︒方向上有一灯塔P ，轮船沿着北偏西30︒方向航行4小时到达B 处，这时灯塔P 正好在轮船的正东方向上，已知轮船的航速为25海里/时，求轮船在B 处时与灯塔P 的距离。

解：作AC PB ⊥于C则在∆ABC 中，∠=︒==︒=BAC AB BC AB 301003050，，sin AC AB =︒=cos30503在∆ACP 中，∠=︒==CAP CP AC 45503， ∴=+=+BP BC CP 50503∴轮船在B 处与灯塔P 的距离为()50503+海里。

例5. 如图：小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD =62米，BC =6米，CD 与地面成45︒的角，且在此时测得1多少？解：如图甲，在∆ABC 中，AB AC CD AB =⊥，于D 且∠=︒ACD 30，则∠=︒BAC 60∴∆ABC 为等边三角形，则底边上的高等于CD 在Rt ACD ∆中， sin 603︒=∴=CD CD a ，图甲如图乙，在Rt ACD ∆中， ∠=︒ACD 30 ∴∠=︒DAC 60，即∠=︒BAC 120 ∴∠=︒B 30，过A 作AE BC ⊥于E ，AE AB a ==11【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 填空题：1. 在Rt ABC ∆中，各边都扩大四倍，锐角A 的各三角函数值（ ） A. 没有变化 B. 分别扩大四倍C. 分别缩小到原来的14D. 不能确定 2. 在∆ABC 中，a b c 、、分别为角A 、B 、C 的对边长，若sin cos A A ⋅=0，且α=⋅2c B cos ，则∆ABC 的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形3. 已知在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，下列式子中不一定成立的是（ ） A. tan cot A B = B. tan cot A B ⋅=1C. sin()sin A B C +=D. sin sin 221A B +=4. 若∠∠∠A B C 、、是三角形ABC 的三个内角，则sin A B+2等于（ ） A. sin CB. sinC 2C. cosC 2D. cos C5. 在Rt ABC ∆中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列各式中正确的是（ ）A. sin A =324 B. cos B =13C. tan A =24D. cot B =22二. 解答题：1. 已知一只小虫从A点出发，在坡度为1：7的斜坡上爬到B，当AB=3m时，求它的高度上升了多少米。

2. 已知两建筑物的水平距离为a，从A点测得D、C的俯角αβ、，求两建筑物的高为3. 已知等腰三角形一腰上的高与腰的比为22，求顶角为多少？【试题答案】一. 1. A 2. D3. B4. C5. D二. 1. 解：坡度i h l =，即h l l h =∴=177， 又 AB l h h h h 2222224950=+=+=∴=∴=AB h h m 5232()2. 过C 作CE AB ⊥于E ，则四边形EBDC 为矩形 ∴===CE BD a CD BE ， 在Rt ABD ∆中， ∠=ADB β∴=∴==⋅tan tan tan βββABBDAB BD a ， 在Rt ACE ∆中， ∠=∴=ACE AECEαα，tanAE CE a =⋅=tan tan αα∴==-=-CD BE AB AE a (tan tan )βα 3. 如图甲：当∆ABC 是锐角等腰三角形时在Rt ADC ∆中， sin A CD AC A ==∴∠=︒2245，如图乙：当∆ABC 为钝角三角形时，在Rt ACD ∆中sin ∠==∴∠=︒DAC CD AC DAC 2245，。