2017年秋高三（上）期末测试卷理科数学第I卷一．选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分。

1. 已知等差数列中，，则的公差为A. B. 2 C. 10 D. 13【答案】B【解析】由题意可得：.本题选择B选项.2. 已知集合，则A. {1，2}B. {5，6}C. {1，2，5，6}D. {3，4，5，6}【答案】C【解析】由题意可得：，结合交集的定义有：.本题选择C选项.3. 命题“若，则”，则命题以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】命题“若，则”是真命题，则其逆否命题为真命题；其逆命题：“若，则”是假命题，则其否命题也是假命题；综上可得：四个命题中真命题的个数为2.本题选择B选项.4. 已知两非零复数，若，则一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】利用排除法：当时，，而，选项A错误，，选项B错误，当时，，而，选项C错误，本题选择D选项.5. 根据如下样本数据：得到回归方程，则A.B. 变量与线性正相关C. 当＝11时，可以确定＝3D. 变量与之间是函数产关系【答案】D【解析】由题意可得：,，回归方程过样本中心点，则：，求解关于实数的方程可得：，由可知变量与线性负相关；当＝11时，无法确定y的值；变量与之间是相关关系，不是函数关系.本题选择A选项.点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．6. 执行如下图所示的程序框图，若输入的值为9，则输出的结果是A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】由题意可得，该流程图的功能计算的值为：.本题选择C选项.7. 函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】由函数的解析式可得：，则函数图象关于坐标原点对称，选项C,D错误；函数的定义域为，则，选项B错误；本题选择A选项.8. 甲、乙、丙、丁五位同学相约去学校图书室借阅四大名著（每种名著均有若干本），已知每人均只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为A. 72B. 60C. 54D. 48【答案】C【解析】分类讨论：若乙丙丁戊中有人借阅《三国演义》，则满足题意的不同借阅方案种数为种，若乙丙丁戊中没有人借阅《三国演义》，原问题等价于4个球放入三个盒子，每个盒子均不空，放置的方法为：2+1+1，结合排列组合的结论可得：此时的不同借阅方案种数为种，综上可得，不同的借阅方案种数为种.本题选择B选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．9. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。

其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所税金之和，恰好重1斤。

”则在此问题中，第5关收税金为A. 斤B. 斤C. 斤D. 斤【答案】B【解析】设持有的金为金，由题意可得：第一关的税金为，第二关的税金为，第三关的税金为：，同理，第四关的税金为，第五关的税金为，由题意可得：，据此可得：，第五关的税金为：斤.本题选择C选项.10. 已知函数在区间[]内单调递减，则的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】整理函数的解析式有：，函数在区间[]内单调递减，则：，求解关于的不等式可得：，即的最大值是.本题选择C选项.11. 已知点，点的坐标满足，则的最小值为A. B. 0 C. D. －8【答案】B【解析】由题意可得：，即为点与点的距离的平方，结合图形知，最小值即为点到直线的距离的平方，，故最小值为.本题选择C选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．12. 已知关于的不等式存在唯一的整数解，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式即，设，，故在上单减，在上单增，，故的图象大致如图所示，又直线恒过定点，由图形知，且不等式的唯一整数解为，故且，所以且，即.本题选择B选项.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做。

第22题－第23题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 二项式的展开式中常数项为___________。

【答案】15【解析】由二项式展开式的通项公式有：，令可得：，则展开式中的常数项为：.14. 已知向量的夹角为，若，则___________。

【答案】3【解析】由题意可得：，整理可得：，据此可得：.15. 当正实数变化时，斜率不为0的定直线始终与圆相切，则直线的方程为____________。

【答案】【解析】设，则，即，因为该等式对任意成立，故，即，则直线的方程为.16. 已知为双曲线与圆的一个公共点，分别为双曲线的左右焦点，设，若，则双曲线的离心率的取值范围是___________。

【答案】【解析】由题知，又，所以，两式做比值可得：，而，又，，故，.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知数列满足：。

（I）求证：为等差数列；（II）设，求数列的前项和。

【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由递推关系可得：，则数列为等差数列；(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可得：，，裂项求和可得数列的前项和为.试题解析：（I）由递推关系可得：，故为等差数列；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，故，，点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且（I）求A；（II）若，△ABC的面积为，求的值。

【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合辅助角公式可得：，则；(Ⅱ)由题意结合三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，则，有正弦定理边角互化可得.试题解析：（Ⅰ），即，由知，故，即（Ⅱ）由得，从而，即，.19. 某百货商场举行年终庆典，推出以下两种优惠方案：方案一：单笔消费每满200元立减50元，可累计；方案二：单笔消费满200元可参与一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球，若摸到2个红球则按原价的5折付款，若摸到1个红球则按原价的7折付款，若未摸到红球按原价的9折付款。

单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案。

（I）某顾客购买一件300元的商品，若他选择优惠方案二，求该顾客最好终支付金额不超过250元的概率。

（II）若某顾客的购物金额为210元，请用所学概率知识分析他选择哪一种优惠方案更划算？【答案】（I）；（II）方案二.【解析】试题分析：(Ⅰ)原问题即顾客最终至少摸到一个红球，由题意结合对立事件公式可得所求概率为；(Ⅱ)若选择方案一，则需付金额元；若选择方案二，设需付金额元，求得其分布列，计算方差可得，故选方案二更划算.试题解析：（Ⅰ）顾客最终支付金额不超过250元，即至少摸到一个红球，故所求概率为；（Ⅱ）若选择方案一，则需付金额元；若选择方案二，设需付金额元，则随机变量的分布列为：，故选方案二更划算.20. 已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆C的上顶点到直线的距离为，过且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M，N两点，且｜MN｜＝1。

（I）求椭圆的方程；（II）过点的直线与椭圆C相交于P，Q两点，点），且，求直线的方程。

【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由得，由得，故，求解方程组有，，则椭圆的方程为；(Ⅱ)设直线方程为，与椭圆的方程联立可得，则，利用平面向量垂直的充要条件有，据此可得关于实数k的方程，解得或，经检验当不合题意，则直线的方程为.试题解析：（Ⅰ）由点到直线距离公式有，整理可得，由通径公式有，整理可得，故，，，椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线方程为，与椭圆的方程联立消去得，设，则，由得，即，即，，即，解得或当时，直线经过点，不满足题意，舍去，故，所以直线的方程为.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21. 已知函数存在唯一极值点。

（I）求的取值范围；（II）证明：函数与的值域相同。

【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可得：，，分类讨论：当时，在内有唯一极值点；当时，若，无极值点，若，有两个极值点，不合题意；则；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，设，则在上单减，在上单增，的值域为，则原问题等价于，即，整理变形为，导函数单增，则原问题等价于，据此命题得证.试题解析：（Ⅰ），，当时，，故在上单调递增，又时，，，故在内有唯一实根，即在内有唯一极值点；当时，由得，故在上单增，在上单减，若则恒成立，此时无极值点，若，又时，时，此时有两个极值点；综上，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设即，则在上单减，在上单增，的值域为，要使与的值域相同，只需，即，即，又，故即，故只需证，又单增，所以要证即证，而，故得证.请从下面所给22．23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂．多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22. 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为。