2011届上海市静安区高三数学一模 解答（文理合） 2011.11. i -1； 2．（文）21x （理）16； 3. 15； 4. -4； 5. -1； 6.22112111221121+-+=+-+++n n n n n ； 7. （文）（理）]1,1[-；8.2214yx +=9．0，21； 10. k ≤ 10；或k ＜11；或k=10；11. （文）10； （理）56；12. （文）3， （理）2； 13． 2π；14. 53+=2210+。

15． D ；16. D ；17． B ； 18． C 19．解（1）当1=a 时，⎩⎨⎧-<--≥+=++=11112|1|)(x x x ax x x f ，………………3分简图如右图所示.……………………………………………3分（2）⎩⎨⎧-<---≥++=++=11)1(11)1(|1|)(x x a x x a ax x x f ，……3分当⎩⎨⎧>->+0101a a 或⎩⎨⎧<-<+0101a a ，………………………………3分即1>a 或1-<a 时，)(x f 在R 上分别是增函数和减函数。

所以，当1>a 或1-<a 时，函数)(x f 在R 上具有单调性. ……………………………………………………2分20．解：（1）11cos 2cos 3)1cos 2(2cos 2cos 1)(222-=--=-+--=x x x x x x f …………3分32cos 0cos 0cos 2cos32==⇒=-⇒x x x x 或 …………………………………………………2分Z k k x k x ∈±=+=⇒,32arccos2,2πππ …………………………………………………………2分（2）因为：34)31(cos 31cos 2cos 3)(22--=--=x x x x f ，……………………………………4分所以，当1cos -=x 时，4)(max =x f ；…………………………………………………………………2分 当31cos =x 时，34)(min -=x f …………………………………………………………………………2分21．解：（1）|2|lg )(2++=a x x h ，…………2分 ；x a x g )1()(+=；……………………………2分 （2）由函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数得2)1(21+≤+-a a ，解得123-≥-≤a a 或，…………………………………………………………………………………………2分由函数)(x g 是减函数得01<+a ，解得1-<a ，………………………………………………………1分 再由命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，得a 的取值范围是),23()1,23(),1[+∞-=--⋃+∞-.……3分（3）)2lg(26|2|lg 224)2(+++=++++=a a a a f ,……………………………………………………2分 因为在),23(+∞-∈a 上递增，所以2lg 3)223lg()23(26)2(-=+-+-⋅+>f ，即：∈)2(f ),2lg 3(+∞-.………………………………………………………………………………………3分22．解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且⎩⎨⎧=++=++721712q d q d解得2d =，2q =． …………………………………………………………………………2分所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q--==．…………………………………………2分 （2）因为020*******≥-=-=n a c n n 5.1005≥⇔n ，所以，当10051≤≤n 时，0<n c ，当1006≥n 时，0>n c .……………………………………………………………………………………2分 所以当1005=n 时，n A 取得最小值. ……………………………………………………2分 （文）（3）1212n n na nb --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++① ………………………2分3252321223222n n n n n S ----=+++++②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- …………………………………………………2分 221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1111212221212n n n ----=+⨯-- ……………………………3分 12362n n -+=-．……………………………………………………………………………………………1分 （理）（3）)11()11)(11(12121na a a n K +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++≤等价于min )(n F K ≤，其中)11()11)(11(121)(21n a a a n n F +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=；……………………………………2分因为:⇔>+-++++⋅⋅⋅⋅⋅++=-+0]121)1211(321)[11()11)(11()()1(21n n n a a a n F n F n⇔+>++⋅+121)1222321n n n n 1232221)1222321+⋅+>+⇔>++⋅+n n n n n n38448422++>++⇔n n n n 34>⇔显然成立，所以)(n F 是递增的。

……………4分从而332)1()(min ==≤F n F K . …………………………………………………………2分 或因为：1)1(2)1(21)1(4)1(2)12)(32(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F ，所以：)(n F 是递增的。

………………………4分； 从而332)1()(min ==≤F n F K .………………………………2分23．（文）解：（1）设P （a ,0）,则)1,(a PA -= ,)2,3(a PQ -=,由题意得PQ PA ⊥，所以02)3)((=+--a a ， …………………………………………………………………………2分解得1,2=a ，所以点P 应取在（2，0）或（1，0）； …………………………………2分 （2）l 不能过点R （3，3）；因为若l 过点R ，设P （a ,0）, …………………………2分 则)1,(a PA -= ,)3,3(a PR -=,由题意得PRPA ⊥，所以03)3)((=+--a a ，即0332=+-a a ，……………………………………………………………………………2分因为0349<⨯-=∆，所以点P 取不到，从而l 不能过点R （3，3）. ……………2分 （3）设直线l 可以经过点B （x ，y ），P （a ，0），………………………………………1分 则0),1,(),,(=∙-=-=PA BP a PA y a x PB 02=+-⇒y ax a ，2=+-y ax a 有解042≥-⇒y x 即42xy ≤，………………………………………3分所以，直线l 可以经过的点B 的集合是}4|),{(2xy y x ≤，即直线l移动的区域是抛物线42xy =及以下部分。

…………………2分简图如右…………………………………………………………2分 23.（理）解：（1）由ax a x a x a x y 4)()(22=--+=⊗=…………………………2分可知：)0,0(42≥≥=y x ax y ，所以轨迹C 为抛物线)0,0(42≥≥=y x ax y 在第一象限内的部分，包括原点；………………………………………………………………………………………………2分 （2）y y x x P d ⊗+⊗=21)(1224421yx +=22yx +=，…………………………………………2分22)(421)(a x P d -=||a x -=， ………………………………………………………………………2分分别表示P 点到原点和到直线a x =的距离；……………………………………………………………2分 （3）设若存在为),(111y x A ),(222y x A ，则由)()(1211A d a A d =且)()(2221A d a A d =得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+||||2222112121a x a y x a x a y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=+)2(4)2(422222222121121a ax x a ax x a ax x a ax x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++--0)24()1(0)24()1(3222231221a x a a x a a x a a x a ， 所以0)24()1(32221=++--a x a a x a x x 是方程、的两个根.………………………………………2分 要使21,A A 存在，必须⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆0002121x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-+>--+011240)1(4)24(32322a a a aa a a a a ，所以必须1>a .…………2分 当1>a 时，由于=+-+--=++-=--22322121211241)())((aa a a aa aa x x a x x a x a x015124223323<--=--+--=a aa a a a aa ，即异号与a x a x --21 (2)分或设322)24()1()(a x a a x a x f ++--=，由=)(a f 322)24()1(a a a a a a ++--0524233223<-=+---=a a a a a a 得a 介于21x x 、之间，即异号与a x a x --21.……………………………………………2分所以)()(2111A d A d +=|)||(|21a x a x a -+-=|)()(|21a x a x a --- =14)1()42(3222---+a aa a a a =4512+-a a a a 。

…………………………………………………………2分。