班级： 姓名：线 订装绝密★启用前辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理数试题时间：120分钟满分：152分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 若集合A ={x ∈N||x|<3},B ={x|x 2+x −2⩽0},则A ∩B =( )A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1,2}【答案】C【解析】由集合,, 则.2. 复数z =103+i−2i 的模|z|=( ) A. 3√2 B. 3√3 C. 2√2 D. 2√3【答案】A【解析】复数,所以.3. 圆心为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x −6y +4=0相外切,则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x +2=0B. x 2+y 2−4x +2=0C. x 2+y 2+4x =0D. x 2+y 2−4x =0【答案】D【解析】圆,即,圆心为,半径为,设圆的半径为,由两圆外切知,圆心距为,所以,的方程为,展开得.4. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A. 3π+4B. 4π+4C. 6π+4D. 8π+4 【答案】B【解析】由三视图易知,该组合体为上面是个球,下面是半个圆柱,表面积为.5. 已知ΔABC 的面积为S ,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若4S =a 2−(b −c)2,bc =4,则S =( )A. 2B. 4C. √3D. 2√3【答案】A【解析】∵,,∴,可得,可得,∴可得,∵,可得,∴,解得,∴.6. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有人持五金出关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,…,”,源于问题所蕴含的数学思想,设计如图所示程序框图,运行此程装订线序,输出的i 值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】C【解析】执行程序框图可知,,当时,,,此时不成立,结束循环,输出.7. 为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况,某高校自主招生考试面试中的一个问题是:写出对数的换底公式,并加以证明,甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案,公布他们的答案后,三考生之间有如下对话,甲说:“我答错了”,乙说:“我答对了”,丙说:“乙答错了”,评委看了他们的答案,听了他们之间的对话后说:你们三人的答案中只有一人是正确的,你们三人的对话中只有一人说对了,根据以上信息,面试问题答案正确、对话说对了的考生依次为( )A. 乙、乙B. 乙、甲C. 甲、乙D. 甲、丙【答案】D【解析】如果甲做对了,那么甲说的不对,乙说的不对,丙说的对,满足题意,如果乙做对了,那么甲说的对,乙说的也对,不满足题意,如果丙做对了,那么甲说的对,乙说的不对,丙说的也对,不满足题意.8. 若函数存在最小值,则a 的取值范围为( )A. (1,+∞)B. (√3,+∞)C. (1,√3]D. (0,√33]【答案】C 【解析】由函数,由题意可知,当时,,函数必须满足,否则函数无最小值,此时,当时,单调 递减,满足,所以,解得.9. 设0<x 1<x 2<π,若sin(2x 1−π3)=sin(2x 2−π3)=35,则cos(x 1−x 2)=( )A. −35B. 35C. −45D. 45【答案】B【解析】因为,所以,由,可得或,,因为, 所以,即,所以.10. 若点M(x,kx −2)满足不等式组,则k 的取值范围为( )班级： 姓名： 线订装A. (−∞,−1]∪[2,+∞)B. [−1,2]C. (−∞,−7]∪[2,+∞)D. [−7,2] 【答案】A【解析】如图所示,图中阴影部分为可行域.由点,即,所以,表示可行域内点和点连线的斜率.由图可知,,,,,,所以.11. 设f(x)=12x 2−x +cos(1−x),则函数f(x)( ) A. 仅有一个极小值 B. 仅有一个极大值 C. 有无数个极值 D. 没有极值 【答案】A【解析】,得,设,则,即为增函数,且,所以当,,,则单调递减,当,,,则单调递增,且,所以函数仅有一个极小值.12. 设P 是ΔABC 所在平面上的一点,若|2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值( ) A. 12B. 1C. −12D. −1【答案】C 【解析】由,可得,设的中点为,即,点时所在平面上的任意一点,为中点,∴,当且仅当,即点与点重合时,有最小值.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知某种商品的广告费支出x (单位:万元)与销售额y (单位:万元)之间有如下对应数据:根据上表可得回归方程y ̂=b ̂x +a ̂,计算得b̂=7,则当投入10万元广告费时,销售额的预报值为__________万元.【答案】【解析】由上表可知,,得样本中心为代入回归方程,得,所以回归方程为,将代入可得.装订线14. 若x 9=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 9(x −1)9,则a 2的值为__________.【答案】【解析】由,可得,上式二项展开的通项为,令,得.15. 已知A ,B ,C 是半径为2的球O 表面上三点,若AB =1,AC =√3,∠B =60∘,则三棱锥O −ABC 的体积为__________.【答案】【解析】如图所示,中,由正弦定理可得,解得, 由,所以,,所以为直角三角形,取中点为,则为的外心,为球心,则有面,,三棱锥的体积为.16. 双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,左顶点为A ,以F 为圆心,|FA|为半径的圆与C 的右支相交于M ,N 两点,若ΔAMN 的一个内角为60∘,则C 的渐近线方程为__________.【答案】【解析】如图,设左焦点为,圆于轴的另一交点为,∵的一个内角为,∴,,,,在中,由余弦定理可得,∴,∴的渐近线方程为,即.三、解答题（每小题12分,共60分）17. S n 为数列{a n }的前n 项和,已知3S n +2=4a n ,b n ∙log a 1a n ∙log a 1a n+1=1. (1)求{a n }的通项公式. (2)若数列{b n }的前n 项和T n 满足T n +k <0,求实数k 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)由,可知,两式相减可得,易知,于是,又,得,所以是首项为,公比为的等比数列, 通项公式为. (2)由,可知, 于是, 不等式可化为,因为,所以,故,因此实数的取值范围为.18. 近年来,双十一购物狂欢节(简称“双11”)活动已成为中国电子商务行业年度盛事,某网络商家为制定2018年“双11”活动营销策略,调查了2017“双11”活动期间每位网购客户用于网购时间T (单位:小时),发现T 近似服从正态分布N(2,0.49). (1)求P(T >1.3)的估计值. (2)该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10000名网购客户,这10000名客户在2017年“双11”活动期间,用于网购时间T 属于区间(2,3.4)的客户数为X ,该商家计划在2018年“双11”活动前对这X 名客户发送广告,所发广告的费用为每位客户0.05元. (i)求该商家所发广告总费用的平均估计值. (ii)求使P(X =k)取最大值时的整数k 的值. 附:若随机变量Z 服从正态班级： 姓名： 线 订装分布Z~N(μ,σ2),则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826,P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544,P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9772.【答案】见解析【解析】(1)因为,,,所以. (2)(i),依题意,所以,故商家广告总费用的估计值为元. (ii),设最大,则,即,解得,因为,所以使取最大值时的整数.19. 如图,在四面体ABCD 中,BA =BC ,∠BAD =∠BCD =90∘.(1)证明:BD ⊥AC ; (2)若∠ABD =60∘,BA =2,四面体ABCD 的体积为2,求二面角B −AC −D 的余弦值.【答案】见解析.【解析】方法一:(1)如图,作斜边上的高,连结. 因为,,所以.可得,,所以平面,平面, 于是.(2)在中,因为,,所以,,,的面积.因为平面,四面体的体积,所以,,,即,, 所以平面. 以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,. 设是平面的法向量,则,即,可取. 设是平面的法向量,则,即,可取. 因为,二面角的平面角为钝角,所以二面角的余弦值为.20. 已知P 为椭圆C:x 24+y 23=1长轴上的一个动点,过点P 的直线l 与C 交于M ,N 两点,点M 在第一象限,且3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . (1)若点N 为C 的下顶点,求点P 的坐标. (2)若O 为坐标原点,当ΔOMN 的面积最大时,求点P 的坐标.【答案】见解析【解析】(1)易知,由,可得点的纵坐标为, 由点在上,得的横坐标为,从而方程为, 令得,点的坐标为.(2)由题意可设,设直线,与联立,可得,, 设,,则,由得, 所以,,因为,所以,得,的面积:当且仅当时等号成立,此时,满足, 因为,所以,故点的坐标为.21. 设函数f(x)=2e x −kx −2. (1)讨论f(x)的单调性. (2)若存在正数a ,使得当0<x <a 时,|f(x)|>2x ,求实数k 的取值范围.装订线【答案】见解析【解析】(1),当时,,上单调递增,当时,若,则,若,则,所以在单调递增,在上单调递减. (2)若,在内单调递增,当时,, 所以,即, 设,, 若,时,,在单调递增,所以当时,,故存在正数,使得当时,, 若,当时,,在单调递减,因为,所以,故不存在正数,使得当,, 若,在单调递减,因为,所以存在,使得当,,可化为,即,设,,若,则时,,在单调递增,又,所以时,,故不存在正数,使得当时,, 当时,当时,,在单调递减,又,所以,故存在,使得当时,. 综上,实数的取值范围为.四、选做题（每小题12分,共24分）22A. 在直角坐标系xOy 中,将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标为原来的√3倍,再把所得曲线上每一点向下平移1个单位得到曲线C 1,以O 为极点,以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρsin(Θ+π4)=√2. (1)写出C 1的参数方程和C 2的直角坐标方程. (2)设点M 在C 1上,点N 在C 2上,求使|MN|取最小值时点M 的直角坐标.【答案】见解析【解析】(1):为,其参数方程为(为参数),,其直角坐标方程为. (2)由(1)可设,由于是直线,所以的最小值, 就是到距离的最小值,, 当时,取最小值,最小值为,此时的直角坐标为.22B. 设函数f(x)=|x −1|−|x +2|,若−2<f(a)<0,−2<f(b)<0. (1)证明:|a +b|<1. (2)比较2|a −b|与|1−4ab|的大小.【答案】见解析【解析】(1),由,得,从而,, 所以. (2),由(1)得,, 所以,故.。