微积分初步知识在今年物理高考中的应用例析
江苏省常州高级中学 丁岳林
物理学是一门精确科学，与数学有密切关系，在应用物理知识解决实际问题时，一般或多或少总要进行数学运算、进行数学推理，而且处理的问题愈是高深，应用的数学一般也愈多.“应用数学处理物理问题的能力”是物理科高考考试说明中的五条能力要求之一，说明中指出，“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论……”.物理解题中运用的数学方法，通常包括方程(组)法、比例法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、数列与不等式及微积分初步等。
其中，微积分初步是新编数学教材(本届高三学生是全国面上使用新教材的第一届)中增加的内容，因此往届高考物理试题中并未出现，但通观今年的高考物理试题，对微积分初步知识还是有一定要求的，本文就以今年的两道高考物理试题为例对这一要求来做一解读。
例1．如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0＝0.10Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l ＝0.20m 。
有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B 与时间t 的关系为B ＝kt ，比例系数k ＝0.020T/s ，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，
在滑动过程中保持与导轨垂直，在t ＝0时刻，金属杆紧靠
在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开
始向导轨的另一端滑动，求在t ＝6.0s 时金属杆所受的安培
力。
（2003年江苏省高考物理试题）
解析：求解本题的关键是正确计算回路中总感应电动势，从高考阅卷抽样统计来看该题的正确率极低，98%以上的考生都是错误地应用公式Blv =ε或t
B S
∆∆=ε计算电动势，原因是对公式的适用条件模糊不清，从而是乱代公式。
以a 表示金属杆运动的加速度，在t 时刻，金属杆与初始位置的距离22
1at x =
此时杆的速度at v =。
这时穿过回路的磁通量为BS =Φ，其中xl S =，kt B =，因此，
32t kla =Φ，根据法拉第电磁感应定律223t kla dt d =Φ=ε 回路的总电阻02Lr R = 回路中的感应电流R
i ε
=
作用于杆的安培力Bli F = 解得 t r l k F 0
2
223=，代入数据为31044.1-⨯=F N
本题中的电动势第二种计算方法是，根据法拉第电磁感应定律运用数学上的极限工
具。
)33(2
])[(23233t t t t kla t t t kla t ∆+∆+=-∆+=∆∆Φ=
ε 当0→∆t 时，瞬时电动势为22
3t kla =ε 高考命题组提供的标准答案是直接写出公式Sk Blv +=ε，其实该公式是这样来的，
由BS =Φ，因B 、S 均随时间变化，故dt
dB S dt dS B dt d +=Φ=ε， 其中，Blv Blat dt
at l d B dt dS B ==⋅=)21(2 为导体切割磁感应线产生的电动势分量，Sk dt dB S =为假设回路的面积一定由于B 的变化而产生的电动势分量。
从考生答卷情况来看，考生的实际水平与命题者的要求差距实在是太远了。
反过来说，我们中学阶段法拉第电磁感应定律这一知识点的教学必须适度渗透微分（导数）的数学思想方法。
例2．为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积A ＝0.04m 2的金属板，间距L ＝0.05m ，当连接到U ＝2500V 的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电场，如图所示，现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒1013个，假设这些颗粒都处于静止状态，
每个颗粒带电量为q ＝+1.0×10－17C ，质量为m ＝2.0×10－15kg ，不考虑烟尘颗粒之间的相互
作用和空气阻力，并忽略烟尘颗粒所受重力。
求合上电键后,除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功？ （2003年上海市高考物理试题）
解析：电场力对距下（负）极板远近不同的颗粒做功并不相同，解决的基本办法是求出电场力对所有颗粒做的功再求和，由于涉及的是颗粒
数量非常大的均匀介质，这一求和工作可借助于积分来
完成。
在距离下极板为y 远处取平行于极板厚度为dy 的
介质薄层，此微元的体积为Ady dV =……①
微元带电量nqdV dQ =……② （n =10131/m 3
） 这一微元从该处运动至下极板处，电场力做功EydQ dW =……③，其中，L
U E =
……④ 两板间全部尘埃从初位置运动至下极板电场力做的总功为 ⎰=dW W ……⑤ 将①②③④代入⑤得⎰=L ydy L nqAU W 0
解得：2
nqAUL W =，代入已知数据得，4105.2-⨯=W J 高考命题组提供的标准答案是采用的等效法，即将两板间的全部尘埃等效成位于两极板正中间的一个点电荷（类似于重力场中的重心），其总电量为q nAL Q ⋅=，该电荷Q 从两板中点移到下极板，位移为2
L ，电场力做功为：2L QE W ⋅= 事实上，等效法的解是上述积分解的必然结果。
如果本题中两板间的尘埃分布不均匀，例如ky n =，这时等效法就无能为力了，而积分法却照样可行。
从以上两道高考题的分析可以看出，虽然求解过程中所用的数学知识并不限于微积分，但很显然，若考生具备较好的微积分基础这一数学工具，则此类题的求解将会变得非常轻松。
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，以物理题为载体渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题，所以我们的教学必须进一步强化学生数理结合能力的培养。