* D'VCB x翻折问题•解答题（共1小题）1. （ 2014?西城区一模）阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系 xOy 中，一张矩形纸片 OBCD 按图1所示放置.已知OB=10 ,BC=6， 将这张纸片折叠，使点 O 落在边CD 上，记作点A ，折痕与边OD （含端点）交于点 E,与 边OB （含端点）或其延长线交于点 F,求点A 的坐标.折痕EF 所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n （k v 0, n%）,于是有E （0, n ）, F （-卫,k0）,所以在Rt △ EOF 中，得到tan/ OFE= - k ，在Rt △ AOD 中，利用等角的三角函数值相 等，就可以求出线段 DA 的长（如图1） 请回答：（1） 如图1，若点E 的坐标为（0，4），直接写出点 A 的坐标； （2） 在图2中，已知点O 落在边CD 上的点A 处，请画出折痕所在的直线 EF （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） ； 参考小明的做法，解决以下问题：（3） 将矩形沿直线y= - -x+n 折叠，求点A 的坐标；2（4） 将矩形沿直线y=kx+n 折叠，点F 在边OB 上（含端点），直接写出k 的取值范围. 考点：一次函数综合题.分析：（1）如图1，在Rt △ EOF 中，得到tan/ OFE= - k ，在Rt △ AOD 中，利用等角的三 角函数值相等，就可以求出线段 DA 的长；（2） 作OA 的中垂线即可；（3） 如图，设直线 y= -g x+n ，则E 点的坐标为（0，n ），F 点的坐标为（2n ，0）， OE=n ，OF=2n ，由△ AEF ◎△ OEF 可知 OE=AE=n ，AF=OF=2n ，由/ EAF=90。

可知 A ?nA/ 1+ / 3=90° 从而求得/ 1 = / 2,得出△ DEA GAF 所以竺=—，由 FG=CB=6FA GF解得DA=3，从而求得A 点的坐标.（4） 根据图象和矩形的边长可直接得出 k 的取值范围，解答：解：（1）如图1若点E 的坐标为（0，4），直接写出点A 的坐标为（池，6 ）；（2）如图所示:小明在解决这个问题时发现：要求点 A 的坐标，只要求出线段 图2AD 的长即可，连接 OA ，设（3）如图，过点F作FG丄DC于G T EF解析式为y=-二x+n ,2••• E点的坐标为（0, n）,••• OE=n•F点的坐标为（2n , 0）,•OF=2n•/△ AEF与厶OEF全等，•OE=AE=n , AF=OF=2n•••点 A 在 DC 上，且/ EAF=90 °•/ 1 + / 3=90 °又•••/ 3+ / 2=90 °•/ 1 = / 2在厶DEA与厶GAF中，rzi=Z2\Z ADE=Z AGF•••△ DEA GAF （AA ）.AE_DA■J A =GF•/ FG=CB=6=r.■ •2n 6•DA=3•A点的坐标为（3, 6）.(4)— 1 乂 W—.3•••矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边0B上，(1)当E点和D点重合时，k的值为—1，( 2)当F点和B点重合时，k的值为-'；33点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会.匿④ D . 1个2. （ 2015?杭州模拟）将弧 BC 沿弦BC 折叠，交直径 AB 于点D,若AD=8 , DB=10，则BC 的长是（）考点：翻折变换（折叠问题）.分析：如图，作辅助线；首先运用圆周角定理的推论，证明 AC=DC ，此为解决该题的关键性结论；其次证明 DE=4，进而得到BE=14 ;证明△ ABC 为直角三角形，运用射影定 理求出BC,即可解决问题. 解答：解：如图，连接 CD 、AC ,过点C 作CE 丄AB 于点E;••奁二旋•••/ CAB= / DCB+ / DBC , •••/ ADC= / DCB+ / DBC , •••/ CAB= / ADC , AC=DC ; •/ CE 丄 AD ,• AE=DE=4 , BE=4+10=14 ; •/ AB 为半圆的直径， •••/ ACB=90 °2由射影定理得：BC =AB ?BE ,• BC=6 诉. 故选A.3. （ 2015?杭州模拟）如图，将正方形对折后展开（图 ④ 是连续两次对折后再展开），再按 图示方法折叠，能得到一个直角三角形，且它的一个锐角等于30°这样的图形有（）A . 6 匸B . 16C . 2 产D . 4 下点评：该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定 理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用翻折 变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答.考点：翻折变换（折叠问题）.分析：如图②，首先运用翻折变换的性质、平行线的性质证明/ FBE= / EBG （设为a,此为解题的关键性结论；再次证明/ ABD= / FBE= a,求出沪30°如图④，首先运用翻折变换的性质证明/ MAB=60 °求出/ BAC=60 °进而得到/ ACB= , 30°即可解决问题.解答：解：如图②，由题意得：AD // CF, AC=BC••• DF=BF , EF为直角△ BDE斜边上的中线，••• EF=BF，/ FBE=/ FEB ; 而 EF // BC,:丄FEB= / EBG，/ FBE= / EBG （设为a）;由题意得：/ ABD= / FBE= a ,而/ ABG=90 °二 3 a=90 ° , «=30 °如图④，由题意得：AN=AB=2AM , / AMB=90 °•••/ ABM=30 ° ° / MAB=60 °由题意得：/ NAC= / BAC= _二^—=60 °2•••/ ACB=90 ° - 60 °30 °综上所述,有一个锐角为30。

的直角三角形有两个,故选C.点评：该题以正方形为载体，主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键.4. （ 2015?沂源县校级模拟）如图，对折矩形纸片ABCD ,使BC与AD重合，折痕为EF ,把纸片展平；再一次折叠纸片，使BC与EF重合，折痕为GH,把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在GH上的点N处，并使折痕经过点 B ,折痕BM交GH于点I .若AB=4cm , 则GI的长为（）A. "'cm B .氓m C .匸 cm D . ''cm4 4 矿5考点：翻折变换（折叠问题）.分析：如图，首先由翻折变换的性质证明BN=BA=4 , MN=MA （设为入）；由勾股定理求得BQ=VI^；在直角△ MNP中，由勾股定理列出关于入的方程，求出X;运用△ BGI BAM，列出关于 GI的比例式，即可解决问题.解答：解：如图，分别过点 M、N作MP丄GH、NQ丄BC于点P、Q ;贝U MP=AG=3 , NQ=BG=1 , GN=BQ , GP=MA ;由题意得：BN=BA=4 , MN=MA （设为X）,由勾股定理得：BQ={Q2-严二届,••• PN={^ - X;由勾股定理得:入■/+（届-几）J解得：X=翌迈;[ 5由题意得：GI // AM ,•••△ BGI BAM ,• Gl=\= -l-,4 5故选D.点评：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等知识点来分析、判断、解答.7. （ 2014?路南区三模）如图， AB是半圆O的直径，且 AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧 BC恰好过圆心O,则下列说法：①/ ABC=30 ° °②弧AC的长与弧OC的长相等；③弦BC的长为4Q TT④阴影部分的面积是一，，其中正确的个数是（）即弧AC 的长与弧OC:翻折变换（折叠问题）；弧长的计算；扇形面积的计算. :计算题.:过点O 作OD 丄BC 于E,交半圆O 于D 点，连接CD ，如图，根据垂径定理由 OD 丄BC 得BE=CE ，再根据折叠的性质得到 ED=EO ，则OE= OB ，则可根据含30度的直角2三角形三边的关系得/ OBC=3O °即/ ABC=30 °利用互余和等腰三角形的性质得 / BOD= / COD=60 °则可判断 △ OCD 为等边三角形，所以/ ODC=60 ° 然后根据弧长计算可计算出弧OC 的长=里n,弧AC 的长=总n,3 3的长相等；在Rt △ OBC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BE= ^OE=2二,则有BC=4二；由于OC=OB ，则弓形OC 的面积=弓形OB 的面积，然后根据扇形的 面积公式和S 阴影部分=S 扇形OAC 计算得到 ④ 正确.:解：过点O 作OD 丄BC 于E,交半圆O 于D 点，连接CD ，如图， •/ OD 丄 BC , ••• BE=CE ,•••半圆O 沿BC 所在的直线折叠，圆弧 BC 恰好过圆心O, • ED=EO, • OE=_OB,2• / OBC=30 °即/ ABC=30 °所以①正确； • / BOD= / COD=60 ° • △ OCD 为等边三角形， • / ODC=60 ° •••弧OC 的长八「"= n ,1803•••/ AOC=60 °.••弧 AC 的长 J ："= n ,180 3•••弧AC 的长与弧OC 的长相等，所以 ②正确； 在 Rt △ OBC 中，OE=2, / OBE=30 ° , • BE= _；OE=2 ■:, • BC=2BE=4二,所以③正确； •/ OC=OB ,•弓形OC 的面积=弓形OB 的面积， …S 阴影部分=S 扇形OAC =.= n,所以 ④ 正确.C k360 3故选D.点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了弧长公式和扇形的面积公式.二•解答题(共1小题)9. ( 2014?绵阳)如图1，矩形ABCD中，AB=4 , AD=3，把矩形沿直线 AC折叠，使点B 落在点E处，AE交CD于点F,连接DE .(1)求证：△ DEC◎△ EDA ;(2 )求DF的值；(3)如图2,若P为线段EC上一动点，过点 P作厶AEC的内接矩形，使其定点 Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值.E E考点：四边形综合题.专题：压轴题.分析：(1)由矩形和翻折的性质可知 AD=CE , DC=EA ,根据SSS”可求得△ DEC◎△ EDA ;(2)根据勾股定理即可求得.(3)由矩形PQMN的性质得PQ// CA，所以空卫，从而求得PQ,由PN// EG,CE CA得出圧=囲，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得.I CE EG解答：(1)证明：由矩形和翻折的性质可知： AD=CE , DC=EA ,在厶ADE与厶CED中，r AD=CE*DE=EDL DC=EA•••△ DEC◎△ EDA ( SSS);(2)解：如图1,•••/ ACD= / BAC，/ BAC= / CAE ,•••/ ACD= / CAE ,•AF=CF ,设 DF=x，贝U AF=CF=4 - x,2 2 2在 Rt△ ADF 中，AD 2+DF2=AF2,即3+X=( 4 - x)2,解得：x=—,s即 DF=_.8(3)解：如图2,由矩形PQMN的性质得PQ// CA •化严CE^又••• CE=3, AC=「「|；35设 PE=x ( O v x v 3),则，即 PQ=-^X 3_ 53X过E作EG丄AC于G ,贝U PN/ EG ,• l'=: M一CE EG1 9 又•••在 Rt△ AEC 中，EG?AC=AE ?CE，解得 EG==',•即PN=‘(3 - x),312'55设矩形 PQMN 的面积为S,则 S=PQ?PN= 4 2 -—x+4x=- 3 2—.■+3 ( 0 v x v 3) 332点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理.。