静、动态有限元试卷（一）答案一、（1）答：圣维南原理第一种叙述：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（即主矢量相同、对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。

圣维南原理第二种叙述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。

（2）答：所谓等效节点力，就是把分布载荷按照虚功相等的原则移至到节点上的力。

（3）答：首先导出关于局部坐标系的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单元（子单元），如果子单元的位移函数插值结点数与其位移坐标变换节点数相等，其位移函数插值公式与位移坐标变换式都有相同的形函数与结点参数进行插值，则称其为等参元。

（4）答：单元节点I发生单位位移时，函数Ni表示单元内部的位移分布形状，故Ni，，Nj，Nm都称为位移的形状函数，简称形函数。

（5）答：系统随时间变化时的响应。

（6）答：系统随频率变化时的响应。

（7）答：在静力分析时，一个结构在不同时刻可能承受不同的载荷。

结构同时承受的一组载荷，它是各种实际作用的集中载荷和分布载荷的组合。

称为一组结构载荷工况。

（8）答：单元的位移模式就是把单元内任一点的位移近似地表达为其坐标的函数二、答：（1）A：有限元的基本思想是：将连续结构分割成数目有限的小单元体（成为单元），这些小单元体彼此间只在数目有限的指定点（成为节点）上互相连接，用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。

当然，每个小单元体的力学特性都与原结构对应与该小单元的力学特性相同，再把每个小单元体上实际作用的外载荷按虚功等效原理分配到单元的节点上，构成等效节点力，并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。

这一过程通常称为结构离散化。

其次，对每个小单元根据分块近似的思想，选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律，并按弹性力学中变分原理建立起单元节点力与节点位移之间的关系。

最后，把全部单元的节点力与节点位移之间的关系组集起来，就得到了一组以结构节点位移为位置量的代数方程组，并考虑结构约束情况，消去节点位移分量。

B：有限元方法的解题步骤：1)根据工程的实际情况和原始条件选定适当的力学模型，并按一定比例尺绘制结构图形，注明尺寸、载荷和约束情况；2)选定单元类型，对力学模型进行离散化，编制单元和节点号码，选定坐标，并求出各节点坐标值；3)根据载荷类型，将各单元所受的载荷移置到有关节点上，4)并求出各节点的等效节点载荷；5)根据节点坐标值和材料参数（E，μ等），按公式求出各单元刚度矩阵；6)按刚度集成法，由各单元刚度矩阵组集成结构的整体刚度矩阵，由各节点位移组集成整体结构位移列阵，再由各单元节点的载荷列阵组集成整体结构的载荷列阵，并建立整体刚度方程；7)引入约束条件，修改整体刚都举镇和载荷列阵，并求解此方程组得出各节点位移；8)根据以求得的各单元节点的位移分量，求解各单元的应力分量和各单元的主应力以及住平面方向角；9)将计算结果输出，并绘制结构的变形图和各应力分量的分布图等。

（2）答：1)对称性由于各单元刚度矩阵是对称的，所以整体刚度矩阵也具有对称性，利用它的对称性可以只存储总体刚度矩阵的上三角部分，从而节省了近一般的存储容量。

2)稀疏性整体刚度矩阵是零元素比较多的稀疏矩阵，特别是离散化结构中节点越多，网格划分越细[K]越稀疏。

3)[K]是奇异矩阵因为未考虑结构的约束，当排除了整体刚度矩阵位移后，它就变成了正定矩阵。

4)[K]呈带状分布规律在一定节点编号顺序下，可使整体刚度矩阵的非零元素对称地分布在主对角线的两侧，呈现出一主对角线为中心的斜带状分布的特点，故称[K]为带状矩阵。

（3）答：1)一般在结构的应力集中处，应力梯度较大的地方，单元网格划分要细些，其它次要部位可使网格划分较大一些，但这还要考虑计算机容量和计算精度，通常在保证精度的前提下，力求采用较少的单元；2)尽量能使每个单元各边长度接近相等，或相差较小，以免在计算中出现过大的误差；3)应充分利用结构的对称性。

（包括载荷和约束的对称），对于对称性结构可只取结构的1/2或1/4来研究，从而大大减少计算量；4)在材料性质突变处，结构厚度突变处，应把变化的界限作为单元的分界线。

并将集中载荷作用点和分布载荷集度的突变点取为节点；5)节点编号应尽量使同一单元的相邻节点编号的最大号差值最小，以便减小刚度矩阵的半带宽，节省计算机容量。

同时单元、节点编号均要考虑到有利于单元和节点的自动生成，对于较大的结构和使用通用程序时此条尤为重要。

（4）答：1）平面应力问题是只长宽方向的尺寸远大于厚度，沿板面受有平行板面且不沿厚度变化，在平板的前后面无外力作用。

如：木制门拐角处的角铁。

2）平面应变问题是指Z方向的尺寸远大于X，Y；受有平行于横截面且不沿Z变化。

如：分析隧道各截面受力时。

（5）答：1）位移模式必须包含单元的刚体位移。

也就是说，当节点位移是有刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。

2）位移模式必须能包含单元的常应变。

每个单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓的各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。

从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。

因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可能使数值解收敛于正确解。

3）位移模式在单元内要连续且在相邻单元之间的位移必须协调。

当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。

通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上结点的位移时，就可以保证位移的协调性。

三、答：在非线性结构分析中，较为常见的非线性行为有以下三种：（1）状态变化非线性许多普通结构的表现出一种与状态相关的非线性。

例如，一根只能拉伸的电缆可能是松散的，也可能是绷紧的。

轴承套可能是接触的，也可能是不接触的，冻土可能是冻结的，也可能是融化的。

这些系统的刚度由于系统状态的改变在不同的值之间突然变化。

状态改变也许和载荷直接有关（如在电缆情况中），也可能由某种外部原因引起（如在冻土分析中）。

（2）材料非线性非线性的应力-应变关系是结构非线性的常见原因。

许多因素可以影响材料的应力-应变性质，包括加载历史（如在弹-塑性响应状况下），环境状况（如温度），加载的时间总量（如在蠕变响应状况下）。

（3）几何非线性如果结构经受大变形，它变化的几何形状可能会引起结构的非线性地响应。

例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，杆端是柔性的。

随着垂向载荷的增加（钓到鱼），杆不断弯曲以至于动力臂明显地减少，导致杆端显示出在较高载荷下不断增长的刚性。

四、答：主要有以下五种功能：（1）计算特征对 求解特征方程，计算结构的固有频率和阵型，为进一步计算动力响应作好准备，也可直接用于确定结构可能发生的共振频率和轴系的临界转速。

（2）历程响应分析 用阵型叠加法计算结构在强迫力和强迫位移下的瞬态响应。

（3）谱分析 根据给定的反映谱曲线，采用阵型叠加法对基础的随机的强迫位移进行结构的最大位移和最大应力分析。

（4）用逐步积分法求历程响应 不必求解特征方程的特征值和特征向量，而用Wilson θ法直接对动力方程进行数值积分，求解结构在强迫力和强迫位移下的瞬态响应。

（5） 频率响应分析 计算由于基础做简谐运动引起的结构稳态响应，确定结构的幅频特性和相频特性，也可以模拟结构在振动台上的振动试验。

五、１.力学模型的确定由于此结构长、宽远大于厚度，而载荷作用于板平面内，且沿板厚均匀分布，故可按平面应力问题处理，考虑到结构和载荷的对称性，可取结构的1/4来研究。

2．结构离散 该1/4结构被离散为两个三角形单元，节点编号 ，单元划分及取坐标如图3-15所示 ，其各节点的坐标值见表3-1。

3．求单元的刚度矩阵（1）计算单元的节点坐标差及单元面积单元１（i 、j 、m 1，2，3）(2) 计算各单元的刚度矩阵 先计算用到的常数：代入可得:所以单元1的刚度矩阵为:()()()()()[]211011212111023321213132321=-⨯-⨯=-=∆=--=-=--==--=c b c b x x c x x c x x c 89)1(2169)1(4312122EE EEt =∆-=∆-=-μμμ[]()()()()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯-⨯+⨯⨯-⨯+-⨯⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+-⨯-=310011691131000131103110310131003111169111E E K [][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=34323234169;031310169;3131311169122113112E K E K E K [][]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10031169;131********33123E K E K 011213132321=-==-=-=-=y y b y y b y y b由于单元2若按341对应单元1的123排码时,则这两个单元刚度矩阵内容完全一样，故有:34 14、 组集整体刚度矩阵由于[K rs ]=[K sr ]T ，又单元1和单元2的节点号按123对应341，则可得：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⨯1031131343131323403131313131031101169266称对E K [][][][][][][][][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==011016311131631003163113213131112243121233111E K K K E K K K E K K TT[][][][][][][][][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯1031131343131323403131313131031101169133132131123122121113112111166称对E K K K K K K K K K K [][][][][][][][][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++⨯24424324121331322131122121211188K K K K K K K K K K [][][][][][][][][][][][][][][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==31111630110163300116331111634224163214123241213113231211133123214132244122E K K K E K K K EK K E K K K E K K TTT所以组集的整体刚度矩阵为：5、 计算各单元应力矩阵，求出各单元应力先求出各单元的应力矩阵[S]1、[S]2，然后再求得各单元的应力分量：单元应力可看作是单元形心处的应力值。