3. （10分）图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格 划分如图，试求：
（1）对图中网格进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带 宽最小；
（2）计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽； （3）给出约束节点自由度的已知位移信息。
3
p
10
y
8 99
7
x
5 66 8 7
12 3 4 5
12 3 4
4 0 0）T p
（2）．长度因子：a 略写
单元1： 0.5, bi y j ym 0, bj 1, bm 1
ci x j xm 1, c j 1, cm 0
kii
E0h 0.5 2 0
0 1
kij
E0h 2
0.5 0
0.5 1
kim
E0h 2
0 0
0.5 0
13
k jj
6
2 1
1 2
m2
l
6
2 1
1 2
k 1
2E
l
1 1
1 1
整体一致质量矩阵和刚阵
k 2
E
l
1 1
1 1
4 2 0
M
l
6
2
6
1
0 1 2
2 2 0
K
E
l
2
3
1
0 1 1
9
2） 因为节点3固结， u3 0 ；
在 K M 0 中划去第3行和第3列，系统振动的特
征方程为：
K
M
AE l
2 2
Ni 0 ； Ni 1 。
2）位移模式必须能反映单元的刚体位移； 位移模式移的连续性。
2
3）在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形 状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相 同的插值函数进行变换。采用等参变换的单元称之为等参 元。所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的 位移插值形函数相同，参数个数相等。 相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。
答：
相似之处是：均是二维问题，单元自由度数相同，如他们的 三角形3节点单元位移模式相同； 区别之处是：平面问题应力和应变分量是3个，空间轴对称 问题应力和应变分量是4个； 求解刚度矩阵和等效结点力的积分，平面问题是在有厚度的 单元平面上积分，而轴对称问题是在整个环体上积分。即平 面单元指有厚度的面，轴对称单元指一个轴对称的旋转体。
解：
题3 图
题3图. 三角形结构网 格
（2） d 4, MB 2(d 1) 10
（3）u1 u4 0 ； v1 v4 0
4
4
7 15
6
11
3 10
13
1 2 5 9 12 14 15
题3图
答： （2） d=4 , B=2(d+1)=10
(3) u1 u15 v1 v15 0
5
4. （7分）弹性力学空间轴对称问题的有限元计算列式与平面 问题的有限元计算列式的主要相似之处？
2
32
E
l 2
3.0346
E
l 2
11
7. (25分)图示等腰直三角形薄板和一根杆件相铰连。三角板厚度
h 0.1m ，边长 a 1m ， 0, E1 E0 ( E0 已知)，受集中力 p 作用。杆件沿 y 轴方向，长为 a 1 m ，截面积 A 0.01m2 ，
E2 E0。载荷及约束信息如图示，自重不计。试采用图示的
2 3
Al
6
4 2
2 6
0
令
l 2
3E
， 2 则上式展开为
2 2 2 6(1)2 (2 )2 5 2 16 2 0 2 3 3
10
52 16 2 0
；
2
3E
l 2
解得：
1
8
3 5
6 0.1303
1
31
E
l 2
0.6252
E
l 2
2
8
3 5
6 3.07
答： 在有限单元法中，采用低阶多项式拟合振型。结构的低阶振 型曲线与低阶多项式比较通配，结构的高阶振型曲线与低阶 多项式曲线有着显著的差异。因而，有限元法中求出的低阶 频率和振型是可信的，而所求出的高阶频率和振型误差较大 ，甚至无效。
7
6． (20分)图示一维阶梯形杆，已知截面积参数 A ，长度2 l ，
质量密度 ，弹性模量 E 。仅考虑沿轴向振动，采用2个杆
单元，结点和单元编号见图。
试求： （1）阶梯形杆轴向振动的整体一致质量矩阵和刚度矩阵； （2）引入已知位移，求系统振动的固有频率。
A1 2A A2 A
解： （1）单元的一致质量矩阵和
1
u1 1 2
u2 2 3
u3
刚阵
l
l
题6图
8
m1
2l
1.（10分）线弹性力学静力问题有限元法计算列式的推导是 如何采用弹性力学问题基本方程？
答：弹性力学有限元的基本过程是： 1. 假设单元的位移场模式 { f } [N]{ e}
2. 代入到几何方程得到 {} [B]{ e} 3. 代入到物理方程得到 {} [D][B]{ e} 4. 代入到虚功方程，得到单元刚度方程 [F e ] [k]{ e} 5. 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程 [F e ] [k]{ e}
6
5. （8分）结构振动问题有限元离散的无阻尼自由振动方程为
(K 2 M )Φ 0 式中 Knn 是刚度矩阵，Mnn 是质量矩阵， 是结构固有频率，
Φ 是振型向量。
试问为什么从上式求出的特征对< i , Φi > ( i 1, 2, ,)n中，
只有前若干低阶频率和相应振型是可靠的，误差较小。
1个三角形常应变元和1个平面杆元求：
（1）结构整体的等效结点力列阵；
a
（2）采用划行划列法引入已知结
y
点位移，计算出结点1和2的 位移；
a
1
4
（3）杆件中内力。
1
a
2
ijm 单元2： 1 3 2 单元1： 2 4
3
2
x
P
题7图
12
解： （1）．结构整体等效结点力
结点 1
2
3
F （1 0 0 1 0 0
E0h 2
1.5 0.5
0.5 1.5
k
jm
E0h 2
1 0
0.5 0.5
1
0.5
0
k1
aE0h 2
0.5 0.5
0
0.5
kmm
E0h 2
1 0
0 0.5
3
2
0 1 0
0.5 0.5 0 1 1.5 0.5
0 0 1
0.5
0
0.5
1 3
1 0.5 1.5
0
0.5
0 1 0 1 0 2
结点位移
1
2. （20分）回答问题： （1）有限单元的形函数[N具] 有什么特征？
（2）为了保证有限元法解答的收敛性，位移模式应满足 哪些条件？
（3）弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数”
概念是何意思？ 该单元在跨相邻单元时，位移场连
续吗？ 应力场连续吗？ 答：
1）其中的 Ni在 i 结点处取值为1；在其他结点处取值为零