2013年辽宁高考数学试题及答案 (理科)一、选择题1． 复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22 C. 2 D ．2 1．B [解析] 复数z ＝1i －1＝－1＋i 2，所以|z |＝－1＋i 2＝22，故选B.2． 已知集合A ＝{}x |0<log 4x <1，B ＝{}x |x ≤2，则A ∩B ＝( )A ．(0，1)B ．(0，2]C ．(1，2)D ．(1，2]2．D [解析] ∵A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，故选D. 3． 已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 3．A [解析] ∵AB →＝(3，－4)，∴与AB →方向相同的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45，故选A.4． 下面是关于公差d >0的等差数列{}a n 的四个命题： p 1：数列{}a n 是递增数列； p 2：数列{}na n 是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{}a n ＋3nd 是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 44．D [解析] 因为数列{a n }中d >0，所以{a n }是递增数列，则p 1为真命题．而数列{a n＋3nd }也是递增数列，所以p 4为真命题，故选D.5． 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图1－1A ．45B ．50C ．55D ．605．B [解析] 由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3，而低于60分的人数为15，所以该班的学生人数为150.3＝50. 6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．A [解析] 由正弦定理可得到sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ．因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝sin B ＝12，则∠B ＝π6，故选A.7． 使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 7．B [解析] 由通项T k ＋1＝C k n (3x )n －k⎝⎛⎭⎫1x x k＝C k n ·3n －k·xn －5k 2，所以在展开式中含有常数项时，n －5k2＝0，当k 取最小值2时，n 取最小值5.故选B.8． 执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出S ＝( )图1－2A.511B.1011C.3655D.72558．A [解析] 由程序框图可以得到S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1＋1102－1＝11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋19×11＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋15－17＋17－19＋19－111＝511，故选A.9． 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0 D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 9．C [解析] 由题意知当三角形ABC 为直角三角形时，分为两类，∠OAB ，∠OBA 分别为直角．当∠OAB 为直角时b ＝a 3；当∠OBA 为直角时，OB →·AB →＝0，则(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0，所以b －a 3－1a＝0.所以(b －a 3)·⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0，故选C. 10． 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12.则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．31010．C [解析] 由题意将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1还原为长方体ABDC －A 1B 1D 1C 1，则球的直径即为长方体ABDC －A 1B 1D 1C 1的体对角线AD 1，所以球的直径AD 1＝AB 2＋AC 2＋AA 21＝32＋42＋122＝13，则球的半径为132，故选C.11． 已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x )＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －1611．B [解析] 由题意知当f (x )＝g (x )时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8， 整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，所以H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x ≤a －2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（a －2<x <a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x ≥a ＋2），H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x ≤a －2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（a －2<x <a ＋2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x ≥a ＋2）.由图形(图形略)可知，A ＝H 1(x )min ＝－4a －4，B ＝H 2(x )max ＝12－4a ，则A －B ＝－16. 故选B.12． 设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值12．D [解析] 因为函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝[x 2·f (x )]′＝e xx，所以当x >0时，[]x 2·f （x ）′＝e xx>0，令函数g (x )＝x 2·f (x )，所以g (x )在x >0时递增． 由f (2)＝e 28，得g (2)＝e 22.又f (x )＝g （x ）x 2，所以f ′(x )＝g ′（x ）·x 2－g （x ）·（2x ）x 4＝x ·g ′（x ）－2g （x ）x 3＝e x －2g （x ）x 3，x >0.令h (x )＝e x －2g (x )，则h ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫1－2x ，故当x ∈(0，2)时，h ′(x ) <0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (2)＝e 2－2g (2)＝0.所以f ′(x )＝e x －2g （x ）x 3≥0，故f (x )在(0，∞)单调递增．所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )即无极大值也无极小值．选D.13． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．图1－313．16π－16 [解析] 由三视图可以得到原几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为V ＝4π×4－16＝16π－16.14． 已知等比数列{}a n 是递增数列，S n 是{}a n 的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．14．63 [解析] 由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1×（1－26）1－2＝63.15． 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，联结AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________．15.57 [解析] 设椭圆的右焦点为Q ，在三角形ABF 中利用余弦定理可以得到|BF |＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ |＝8，则△F AQ 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a ＝14，2c ＝10，得e ＝57.16． 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．16．10 [解析] 由已知可设5个班级参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x ＝7，（x 1－7）2＋（x 2－7）2＋（x 3－7）2＋（x 4－7）2＋（x 5－7）25＝4，故(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20，即五个完全平方数之和为20，要使其中一个达到最大，这五个数必须是关于0对称分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，所以五个班级参加的人数分别为4，6，7，8，10，最大数字为10.17． 设向量＝(3sin x ，sin x )，＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若||＝||，求x 的值；(2)设函数f (x )＝，求f (x )的最大值．17．解： (1)由||2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x . ||2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及||＝||，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.18．， 如图1－4，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点． (1)求证：平面P AC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C －PB －A 的余弦值．图1－418．解： (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC . 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面P AC . (2)方法一：过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．1－5因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.因为P A ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)． 设平面BCP 的法向量为＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x ＝0，y ＋z ＝0，不妨令y ＝1，则1＝(0，1，－1)． 因为AP →＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)， 设平面ABP 的法向量为2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z ＝0，3x －y ＝0.不妨令x ＝1，2＝(1，3，0)． 于是cos 〈1，2〉＝32 2＝64，所以由题意可知二面角C －PB －A 的余弦值为64. 解法二：过C 作CM ⊥AB 于M .图1－6因为P A ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以P A ⊥CM ， 故CM ⊥平面P AB .过M 作MN ⊥PB 于N ，联结NC . 由三垂线定理得CN ⊥PB .所以∠CNM 为二面角C －PB －A 的平面角．在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32. 在Rt △P AB 中，由AB ＝2，P A ＝1，得PB ＝ 5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，所以MN 1＝325，故MN ＝3 510.又在Rt △CNM 中，CN ＝305，故cos ∠CNM ＝64. 所以二面角C －PB －A 的余弦值为64. 19． 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．19．解： (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”， 则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·15＝4125；P (X ＝1)＝C 12·⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·15＋C 02⎝⎛⎭⎫350·⎝⎛⎭⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·15＋C 12⎝⎛⎭⎫351·⎝⎛⎭⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝⎛⎭⎫352·⎝⎛⎭⎫250·45＝36125.X 的分布列为：X 0 1 2 3 P4125281255712536125所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.图1－720． 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．20．解： (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14.故切线MA 的方程为 y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－2 24，①y 0＝－（1－2）22p ＝－3－2 22p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .21． 已知函数f (x )＝(1＋x )e－2x，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x ．当x ∈[0，1]时，(1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x；(2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．21．解：(1)证明：要证x ∈[0，1]时，(1＋x )e －2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )e －x ≥(1－x )e x .记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )，当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0，因此h (x )在[0，1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0.所以f (x )≥1－x ，x ∈[0，1]．要证x ∈[0，1]时，(1＋x )e－2x≤11＋x，只需证明e x ≥x ＋1. 记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，1)时，K ′(x )＞0，因此K (x )在[0，1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0.所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0，1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x ，x ∈[0，1]．(2)(方法一)f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x－⎝⎛⎭⎫ax ＋x32＋1＋2x cos x ≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x＝－x ⎝⎛⎭⎫a ＋1＋x22＋2cos x . 设G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x .记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0，1)时，H ′(x )＜0，于是G ′(x )在[0，1]上是减函数，从而当x ∈(0，1)时，G ′(x )＜G ′(0)＝0，故G (x )在[0，1]上是减函数．于是G (x )≤G (0)＝2.从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3，所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0，1]上恒成立．下面证明，当a ＞－3时，f (x )≥g (x )在[0，1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x －1－ax －x 32－2x cos x＝－x 1＋x －ax －x 32－2x cos x＝－x ⎝⎛⎭⎫11＋x ＋a ＋x22＋2cos x .记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x ＋a ＋G (x )，则I ′(x )＝－1（1＋x ）2＋G ′(x )．当x ∈(0，1)时，I ′(x )＜0.故I (x )在[0，1]上是减函数，于是I (x )在[0，1]上的值域为[a ＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a ＞－3时，a ＋3＞0，所以存在x 0∈(0，1)，使得I (x 0)＞0，此时f (x 0)＜g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0，1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]． (方法二)先证当x ∈[0，1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2.记F (x )＝cos x －1＋12x 2，则F ′(x )＝－sin x ＋x .记G (x )＝－sin x ＋x ，则G ′(x )＝－cos x ＋1，当x ∈(0，1)时，G ′(x )＞0，于是G (x )在[0，1]上是增函数，因此当x ∈(0，1)时，G (x )＞G (0)＝0，从而F (x )在[0，1]上是增函数，因此F (x )≥F (0)＝0.所以当x ∈[0，1]时，1－12x 2≤cos x .同理可证，当x ∈[0，1]时，cos x ≤1－14x 2.综上，当x ∈[0，1]时，1－12x 2≤cos x ≤1－14x 2.因为当x ∈[0，1]时．f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x－⎝⎛⎭⎫ax ＋x32＋1＋2x cos x ≥(1－x )－ax －x 32－1－2x ⎝⎛⎭⎫1－14x 2 ＝－(a ＋3)x .所以当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0，1]上恒成立．下面证明，当a ＞－3时，f (x )≥g (x )在[0，1]上不恒成立．因为 f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x－⎝⎛⎭⎫ax ＋x32＋1＋2x cos x ≤11＋x －1－ax －x 32－2x ⎝⎛⎭⎫1－12x 2 ＝x 21＋x ＋x 32－(a ＋3)x ≤32x ⎣⎡⎦⎤x －23（a ＋3）， 所以存在x 0∈(0，1)例如x 0取a ＋33和12中的较小值满足f (x 0)＜g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0，1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]． 22． 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，联结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .图1－822．证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2. 又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .23． 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈为参数)，求a ，b 的值． 23．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫2 2，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1， 所以⎩⎨⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.24． 选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{}x |1≤x ≤2，求a 的值．24．解：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3.。