课题：北师大版九年级下册3.7节
《切线长定理》教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
切线长的概念；切线长定理
2.内容解析
本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合.切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性.让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程.它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据.
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是切线长定理
二、目标与目标解析
1.目标
（1）使学生理解切线长定义.
（2）使学生掌握切线长定理，并能初步运用.
2.目标解析
（1）通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识.
（2）学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
（3）通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功. 三、教学问题诊断分析
学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，在本章《圆》前面已经学习了切线的定义、判定与性质、圆的对称性.因此学生对前面圆的相关知识都有一定的认识，这对本节课的学习有一定的帮助，学习过程不会很困难，理解也不很困难，但书写证明过程有一定的难度.在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用轴对称图形的性质证明垂径定理的经验，和尺规作图等动手操作能力，经历了对数学问题进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程. 同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力.
本节课的教学难点是：切线长定理的灵活运用
教学过程设计:
（一）复习提问，引入新课
切线的性质和切线的判定。

（二）观察、猜想、证明，形成定理
1、提出问题：
过平面内的一点作圆的切线，可以作出几条切线？（注意分类讨论）
2.切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P 到⊙O的切线长．
注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
3、观察
变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．
4、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB? (PA＝PB)．
5、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。

需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA ，OB ，要证明PA ＝PB ． 想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？∠OPA ＝∠OPB(如图)等．
选一名学生板演证明过程
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
剖析定理：
（1）指出定理的题设和结论； （2）用符号语言表示定理：
∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，点A 、B 分别为切点，（PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ）
∴PA=PB ，∠APO=∠BPO.
4.切线长定理图形研究：（小组合作讨论）
结合下面的切线长的基本图（PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，直线PO 交⊙O 于D ，E ，交AB 于C.），根据图形，你还可以得到什么结论？小组交流，研究下面的问题 (1)若连结两切点A 、B ，AB 交OP 于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. (2)若延长PO 交⊙O 于点C ，连结CA 、CB ，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
归纳：如图PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交于⊙O 于点D 、E ，交AB 于C 。

（1）写出图中所有的垂直关系 （2）写出图中与∠OAC 相等的角 （3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中所有的等腰三角形
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。

（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
（三）应用、归纳、反思
例1、已知：如图,PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为弧AB 上一点，过Q 点作⊙O 的切线，交PA 、PB 于E 、F 点，已知PA=12cm ，求△PEF 的周长。

例2、已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，BC 是直径。

求证：AC ∥OP
（四）梳理小结，盘点收获 1、你的学习心得、体会是什么？ 2、你有哪些好的经验可推广？ 3、你还存在哪些困难、疑问？
这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切线呢？这些问题有待于我们课后去研究 . (五)目标检测设计
1、如图：PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交于⊙O 于点M ，交AB 于C 。

（1）若PA=4、PM=2，求圆O 的半径OA （2）已知OA=3cm,OP=6cm ，则∠APB= （3）若∠P=70°，则∠AOB=
第1题
A
（4）OP 交⊙O 于M ，则 = ，ＡＢ ＯＰ
（六）推荐作业，巩固拓展
A 层：1.已知：如图5，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若AF =4，BD =6，CE =8，则△ABC 的周长是 ； （3）若AB =9，BC =15，AC=12，则AF = ，BD = ，CE = .
2.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 是弧AB 上任意一点，过C
作⊙O 的切线，交PA 及PB 于D 、E 两点，已知∠P =50°，PA=PB=6cm ，则∠DOE = ，△PDE 的周长是 .
B 层：
1、如图，过⊙O 外一点作⊙O 的切线PA 、PB ，A 、B 为
切点，C 为弧AB 上一点，设∠APB =α . 求证：∠ACB ＝
2．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，PO 交AB 于E ，等式①AE =BE ；② AO 2=OE ·OP ；③∠OAB =21∠APB ；④ PA =PB 中，成立的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
教学反思：
在本节课教学中，对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。

尤其是切线长的基本图形研究环节，学生能充分利用已有的知识和新课内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密结合，体现了本节课知识点的工具性。

P
P
P
α
2
1
90+︒。