d 0
d 0
CD
AB
dσ<0,但dσp>0,塑性变形
dεp>0，总变形dε>0
d dp 0 d d p 0
d 0
d 0
WI
(ij
0 ij
1
d ij
) d
p
ij
2
WD
1
d
ij
d
p
ij
WD
0
①
ij
0 ij
0时，
(ij
0 ij
)d
p ij
0
应变空间加 载面外凸
2
③
②
塑性势面与屈服面相同
0 ij
ij时，
d
ij
d
p ij
0
加载准则(取大于号表示 有新的塑性变形发生)
根据
d
p ij
关于
0
的正交法则，可得：
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
D
ij
ij
dipj
D
d
p ij
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
续应加 变d载ε到ijpσ，ij+最dσ后ij，应在力这又一卸阶回段到，σij将0。产若生整塑个性
应力循环过程中，附加应力dσij所作的塑性 功不小于零，即附加应力的塑性功不出现负 值，则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克 公设。
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
函数，记为：
g I1, J2, J3, H 0
或
g ij , H 0
式中， H 为硬化参数。
塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达
2
因此可将应变循环所作的外部功，写成
Wp
ij
(ij
0 ij
1 2
d ij
)d
p
ij
0
上式表明，如果德鲁克塑性公设成立，WD≥0，则依留申塑性公
设也一定成立，反之，依留申塑性公设成立，并不要求WD≥0， 也就是说，德鲁克塑性公设是依留申塑性公设的充分条件，而
不是必要条件。 当应力点由A到B时，
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当
0 ij
ij时
(ij
0 ij
)dijp
0
可将Druker塑性公设改写成：
WD
(ij
0 ij
)d
p ij
0
由图(a)可知，对于弹性性质不随加载面改变的非耦合情况，外 部作用在应变循环内做功WI和应力循环所作的外部功之间仅差 一个正的附加项： 1 d p d p
Ñ W
0 ij
ij
0 ij
d ij 0
Ñ 由于弹性应变εije在应力循
环中是可逆的，因而
( ij
0 ij
)
d
e
ij
0
0 ij
于是有：
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
0
0 ij
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
0
0 ij
WD
(ij
adij
p ij
ij
ij
0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
0 ij
ij
0 ij
d ij
0
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
②ij0在塑性势面与屈服面
之间时，德鲁克公设不成立；
后在单元体上缓慢地施加荷载，使
εij达到屈服面，再继续加载达到 应变变dε点ijpε。ij+然d后ε卸ij，载此使时应产变生又塑回性到应 原先的应变状态εij0，并产生了与
塑性变量所对应的残余应力增量 dσijp。
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj
D
d
p ij
式中，D为弹性矩阵。
根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
0 ij
)d
p
ij
0
1 a 1 2
当
0 ij
时,略去无穷小量
ij
( ij
0 ij
)d
p ij
0
当
0 ij
ij时，
d
ij
d
p ij
0
屈服面的外凸性
塑性应变增量方向 与加载曲面正交
1 屈服曲面的外凸性
( ij
0 ij
)dijp
|
A0 A||
d
p
|
cos
0
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
d
p ij
d
ij
切平面 加载面
表明，塑性应变分量σij之间的比例可由在 加载面上Φ的位置确定。
dijdijp 0 dσ n 0
加载准则
意义：只有当应力增量指向加载面的外部时才能产生塑性变形。
3德鲁克塑性公设的评述
➢德鲁克公设的适用条件：
（1）应力循环中外载所作
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
标量dλ，称
为塑性因子
弹塑性力学本构关系
1
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做
为非负，即有 0
功，即 0
屈服面 势面线
（5）金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。
附加应力功为非负的条件
3.1.3 依留申塑性公设的表述
依留申塑性公设：在弹塑性材料的一个应变循环内， 外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变 形，如果做功为零，只有弹性变形发生。
设材料单元体经历任意应力
历即史初后始，的在应应变力εσij0ij在0下加处载于面平内衡，，然
（应变硬化和理想塑性材料）
（应变软化材料）
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。
设材料单元体经历任意应力历史后， 在应力σij0下处于平衡，即开始应力σij0在加 载面内，然后在单元体上缓慢地施加一个附 加力，使σij0达到σij，刚好在屈服面上，再继