知识精要一、特殊的平行四边形1、矩形：有一个内角是直角的平行四边形。

2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形。

3、正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。

二、性质定理图形性质定理判定定理矩形1、四个角都是直角；2、两条对角线相等。

1、有三个内角是直角的四边形。

2、对角线相等的平行四边形。

菱形1、四条边都相等；2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。

1、四条边都相等的四边形。

2、对角线互相垂直的平行四边形。

正方形1、四个角都是直角，四条边都相等；2、对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。

1、一组邻边相等的矩形；2、有一个内角是直角的菱形。

三、梯形（一）梯形的有关概念1、四边形的演变与汇总2、 梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形注：（1）梯形是特殊的四边形。

（2）有且只有一组对边平行。

3、 梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的距离叫做梯形的高，它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。

4、 梯形的分类梯形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形：（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形（二）梯形的性质1. 一般梯形的性质：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A+∠B=︒180，∠C+∠D=︒1802. 直角梯形具有的特征在直角梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，∠B=︒90，则∠A=︒90，∠C+∠D=︒180 3. 等腰梯形具有的性质（1）性质定理1：等腰梯形同一底上的两个内角相等 （2）性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。

4. 等腰梯形的判定 （1）利用定义：（2）判定定理l ：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形（3）判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形热身练习：1. 如图，矩形的周长为24cm ，一边中点与对边两顶点边线成直角，则矩形的两邻边分别为4 cm 和8 cm 。

2. 等腰梯形的高是腰长的一半，则底角为 （ A ）A.30°B. 45°C.60°D. 90°3. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形，其中一定能拼成的图形是 （ B ） A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①②⑤ D ．②⑤⑥4. 一组对边平行，并且对角线互相垂直且相等的四边形是( B )A．菱形或矩形 B．正方形或等腰梯形 C．矩形或等腰梯形 D．菱形或直角梯形5. 如下图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP= 30°。

(5题图) （6题图）（7题图）6. 如上图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF. 若CD＝6，则AF等于（ A ）A． B． C． D．87.如上图所示，正方形ABCD中∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC的度数为( C )A ．45° B．60° C．70° D．75°8．如右图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD=AD，若∠DCB=110º，∠CBD=30º，那么∠ADB等于（ C ）A.80º B.90º C.100º D.110º9．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，E、F三等分AC，则△ABE的面积是( B ) A．60 B．100 C．150 D．20010.如右图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ B ）A.75°B.60°C.45°D.30°11．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH 的面积是( B )A．30 B．34 C．36 D．40精解名题例1．如图，已知：△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥AC 交BC于E ，DF ∥BC 交AC 于F .请问四边形DECF 是菱形.吗?说明理由.答：DECF 是菱形。

∵ DF ∥BC ∴∠ECD=∠CDF 又∠ECD=∠DCF ∴∠DCF=∠CDF ∴DF=CF∵DE ∥AC ，DF ∥BC ∴DECF 是平行四边形 ∴DE=EC=CF=FD ∴DECF 是菱形。

例2．如右下图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC于E ，CF ⊥BD 于F 。

求证：BE=CF 。

证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB=OC 又BE ⊥AC ，CF ⊥BD ， ∴∠BEO=∠CFO=90º ∵∠BOE=∠COF ∴△BOE ≌△COF ∴BE=CF例3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，求ABCD S 梯形。

分析：本题采用平移一条对角线的方法，把已知线段都归结到一个三角形中去。

解：延长BC 至E 点，使CE=AD ，连DE∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC=DE=3 过D 作DF ⊥BC 于F 点， ∵AD ∥BC ∴12ADB S AD DF =⋅△ 12DCE S CE DF =⋅△ ∴ADB DEC S S =△△，又DB BDC ABCD S S S =+△A △梯形 ∴BDC DCE BDE S S S S =+=△△△梯形在△BDE 中，∵BD=4，DE=3，BE=BC+CE=5 ∴222BD DE BE +=， ∴△BDE 是直角三角形 ∴1143622BDE S BD DE =⋅=⨯⨯=△ ∴6ABCD S =梯形 B CDA例4.有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农民种植（即将梯形面积两等分），在图1和图2中，试设计两种方案，并说明理由。

图1 图2分析：本题是充分利用梯形的面积公式和梯形的性质解：设梯形的上、下底的长分别为a、b，高为h，根据梯形的图形特征，现提供如下两种设计方案。

方案1：如图3，连上、下底的中点E、F则222ABFE EFCDa bS S+==梯梯形·4a bh h+=⋅图3 图4方案2：如图4，分别量出梯形上，下底a，b的长，在下底BC上截取BE=2a b+，连AE，则1224ABEa b a bS h h++=⋅⋅=⋅△224AECDa ba b a bS h h++-+=⋅=⋅梯形，∴ABE AECES S=△梯形备选例题例1. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：(1)EF∥AD；(2)EF=1/2(BC-AD)。

AB CDE FA B C D EFG证明：（1）连接DF 并延长，交BC 于G 点。

由已知条件知道，在△ADF 与△CGF 中，AD=CG 、∠DAF=∠FCG 、∠AFD=∠CFG ，∴△ADF ≌△CGF ∴DF=GF ∵E 是BD 的中点∴EF 是△DBG中位线∴EF ∥BC ，∵AD ∥BC ∴EF ∥AD（2）由（1）知，△ADF ≌△CGF ，EF 是△DBG 中位线 ∴AD=CG ，EF=1/2BG ∴BG=BC-GC=BC-AD ∴EF=1/2(BC-AD) 例2. 如图：梯形ABCD 中．AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 为CD 的中点，求证：①AE ⊥BE②AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC分析：∵AB=AD+BC ∴应将两底集中在一个三角形，又E 为 CD 的中点．延长AE 交BC 延长线于F 即可得全等三角形，从而得证(图2)证明：延长AE 交BC 延长线长F ∵AD ∥BC∴∠DAE=∠F ．∠ADE=∠FCE∵DE=CE ∴△ADE ≌△FCE(AAS) ∴AD=FC ．AE=FE∵AB=BC+AD AB=BF ∴∠BAF=∠F ∴∠BAF=∠DAF ∵E 为AF 的中点 ∴BE ⊥AF 于点E ． BE 平分∠ABC 方法提炼 巩固练习1.下列命题中，其中真命题有几个 （ B ） 有两个角相等的梯形是等腰梯形 ； 有两条边相等的梯形是等腰梯形； 两条对角线相等的梯形是等腰梯形；等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的特征是( C ) A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分3.菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ B ）A.6 cmB.1.5 cmC.3 cmD.0.75 cm自我测试1．如图，矩形ABCD的对角线相交于O点，AE⊥BD，垂足为E，若∠DAE＝4∠BAE，则∠EAC ＝54°2．正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于8 cm3．如图，正方形的对角线相交于O，∠BAC的的平分线交BD于E，若正方形的周长是20cm，则DE＝5cm4. 如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24. 将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为__30___.（3题图）（4题图）（5题图）5．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N为AC边上的一个动点，则DN+MN 的最小值为 10 ．6.下列命题中，真命题是（ B ）A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形；D.对角线相等的四边形是菱形7．正方形具有而矩形不一定具有的特征是( C )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等8．具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是( D )A．三个角都是直角 B．四个角都相等C．对角线相等的平行四边形 D．对角线垂直且相等9. 如下图，在等腰梯形ABCD中，AD=6cm,BD=9cm，AB=8cm,E,F,G,H分别是AD、BD、BC、AC 的中点，那么四边形EFGH的周长是（ C ）A.14cmB. 15cmC.16cmD. 17cmBCDA（9题图） （11题图） 10. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（B ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°11.如上图等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，点E 是AB 的中点，EC ∥AD ，则∠ABC 为（C ）A. 75°B. 70°C. 60°D. 30°12.如下图，在菱形ABCD 中，∠A=60º，E 、F 分别是AD 、DC 边上的点，EBF=60º.求证△BEF 是等边三角形。