第38卷第3期2008年2月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE AND T HEORYV ol.38　N o.3　F eb.,2008　OWA 算子赋权新方法王　煜,　徐泽水(解放军理工大学理学院,江苏南京　211101)摘要:　对于如何对决策数据给出合理的权重,介绍基于OW A 算子理论的两种赋权的方法.提出两种赋权的方法.由于组合数和整数联系相关的,提出一种新颖的基于组合数给出OW A 算子权重的方法;由于正态分布的良好性质,从已知的OW A 算子赋权方法出发,提出一种与决策数据关联紧密的赋权的方法,也给出这两种方法的简单分析.最后通过算例对该法进行说明和分析.关键词:　决策;决策数据;权重;组合数;正态分布0　引 言收稿日期:2006-10-21基金项目:国家自然科学基金(70571087) 在决策过程中,对已经给出的决策数据如何确定相应的权重,是很重要的.因为对决策数据的集结是决策过程中最重要的一个环节,这决定了决策评判的公正性.为体现公平性原则:对实事求是的数据赋给的权重大一些,而相对偏差比较大的数据赋给的权重小一些,这是一种符合人的心理的想法.Yager 给出了OWA 算子理论[1,2],在此基础之上,人们探索了许多赋权的方法.传统的赋权的方法[3],以其简单明了为人们所广泛接受,但是这样给出的权重很粗糙,没有很好地体现出决策的公平性.正态分布的密度函数图像很好地表现了这样的公平性原则,Xu 把正态分布离散化,得到了一种简单合理的赋权方法[4].Xu 在文[5]中拓展了OWA 理论,给出了一种赋权方法,即,把权重和数据联系起来,免去了赋权之前对数据的排序.本文在第一部分介绍了OWA 算子理论以及这两种赋权的方法,着重介绍了已提出的优秀的赋权方法;在第二部分给出了一种新颖的基于组合数得到OWA 算子赋权方法,也很好得满足了公平性原则;在第三部分给出了一种依赖决策数据给出权重的方法,把权重与决策数据更好地结合起来;在第四部分给出了一个实例来对文中介绍的权重方法作了比较.1　OWA 算子及其赋权方法定义1.1[1](OW A 算子)　设OWA:R n→R ,若OWA X (a 1,a 2,…,a i ,…a n )=∑nj =1X j bj(1)其中X =(X 1,X 2,…,X n )是与函数OWA 相关联的加权向量,X j ∈[0,1],j ∈{1,2,…,n },∑nj =1X j=1,且b j 是一组数据(a 1,a 2,…,a i ,…,a n )中第j 大的元素,R 为实数集,则称函数OWA 是有序加权平均算子,也称OWA 算子.OWA 算子的特点:对给出的决策数据(a 1,a 2,…,a i ,…,a n )按照从大到小的顺序重新排列为(b 1,b 2,…,b j ,…,b n ),对(b 1,b 2,…,b j ,…,b n )由给出的权重向量集结,而且元素a i 与权重X i 没有任何联系,权重X i 只与集结过程中第j 个位置有关(加权向量X 也称为位置加权向量).为了评价OWA 权重,在文[1]给出了两个相关的函数orness (X )和disp (X ),如下:定义1.2[1]orness(X )=1n -1∑ni =1(n -i )X i (2) 定义1.3[1]disp(X )=-∑ni =1X iln Xi(3) 为了达到决策结果的公平合理性,基于OWA 算子,前人已给出了下面两种权重向量的确定方法.1)文献[3]中介绍一种最为常见的办法是:去掉最大值和最小值,然后对剩下的数值,赋给相同的权重.定义1.4[3]　对给出的决策数据(a 1,a 2,…,a i ,…,a n )按照从大到小的顺序重新排列为(b 1,b 2,…,b j ,…,b n ),对排序后的向量(b 1,b 2,…,b j ,…,b n )中的首元素(决策数据中最大的元素)b 1和末元素(决策数据中最小的元素)b n 权重定为0,而对其他元素b 2,…,b j ,…,b n -1权重均赋为1n -2,在这种方法中定义的权重向量X 为0,1n -2,1n -2,…,1n -2,1n -2,0.这种给出权重的方法,以其简洁明了为人们普遍接受,所以被用于奥运会的跳水和体操等比赛中,来计算运动员或选手最后成绩.还比如为人们所关注的青年歌手大奖赛等,都采用这样的赋权方法进行给出评分的.然而这样给出的权重向量不仅抹煞了最大值和最小值在决策中的作用,即使是很微小的作用,也掩盖了其他决策数据各自的特殊性,这种赋权方式虽然在实际应用中广泛为人们所接受,但是从科学上讲不是很合理.2)如上文所说,在OW A 算子中,加权向量X 也称为位置向量,只是对位置加权,而与给出的决策数据没有关系.在文献[4]中,Xu 从正态分布出发,提出了离散正态分布,给出了位置的权重向量.他采用下面的方式给出了位置权重向量.设X =(X 1,X 2,…,X n )为OWA 算子的权重向量,X i 有下面定义给出X ′i =12P R ne-(i -L n )22R 2n,　i =1,2,…,n (4)L n 由(1,2,...,n )赋以权重X ~=1n ,1n , (1)得出的数学期望,且R n (R n >0)由(1,2,…,n )在L n 及权重1n ,1n ,…,1n得出的标准差,L n 和R n :分别有下面两个式子给出:L n =1n n (1+n )2=1+n 2(5)R n =1n ∑ni =1(i -L n )2(6)考虑到X j ∈[0,1]及∑nj =1X i =1,对上式给出的结果由下面式子做单位化处理:52数　学　的　实　践　与　认　识38卷X i =X ′i∑nj =1X′j=12P R ne -(i -L n )22R 2n∑nj =112P Rne-(j -L n )22R 2n=e-(i -L n )22R 2n ∑n j =1e-(j -L n )22R 2n,　i =1,2,…,n (7)(1,2,…,n )的平均值是1+n2,上式亦可写为:X i =e-i -1+n 222R 2n ∑nj =1e-j -1+n 222R 2n,　i =1,2,…,n (8) 决策过程中,某些决策者可能会感情用事,对他所偏好或者憎恶的候选人往往给出不合理的评分,因此,在对决策数据进行集结过程中,要尽量削弱这样的感情因素所造成的不公平现象,使得决策的结果尽量体现公平.基于这种考虑给出的权重比较合理,因为无论决策者对候选人处于偏好给出的高分,还是出于憎恶给出的低分都被排到权重值相对比较小的位置,很好地削弱了感情因素在决策过程的不良影响.基于同样的考虑,下面将给出两种新颖的给出权重的方法,第一种也是在OWA 算子范畴里,它是巧妙的结合了组合数,得到的算子也具有Xu[4]提出的权重的良好性质,第二种从Xu [4]中提出离散正态分布出发,给出一种依赖决策数据的权重的方法,这样给出的权重与决策数据相关性更强,它已不再属于OWA 算子的范畴.2　基于组合数的OWA 算子赋权的方法已知决策数据为a 1,a 2,a 3,…,a i ,…,a n -1,a n ,根据OWA 算子理论,对决策数据作从大到小排序,编号从0开始,得到的结果为b 0E b 1E b 2E …b j …E b n -2E b n -1.数据b j 的权重X j +1是由组合数C j n -1直接决定的,又有∑n -1j =0X j +1=1,于是得到的权重由下面式子给出:X j +1=C j n -1∑n -1k =0Ck n -1,　j =0,1,2,…n -1(9) 又根据组合数的性质知∑n -1k =0C k n -1=2n -1,即得:X j +1=C jn -12n -1,　j =0,1,2,…n -1(10) 根据组合数的良好性质,采用这样的方法得到的权重满足Xu [4]提出的基于离散正态分布给出的OWA 算子权重几条性质:性质2.1　X i (i =0,1,2,…,n -1)是对称的,即:X i =X n +1-i (i =0,1,,2,…,n -1)(11) 证明　对P i ∈[1,n ]且i ∈Z 要证X i =X n +1-i ,需且只需说明C i -1n -1=C n -in -1.根据定义有:533期王　煜,等:O WA 算子赋权新方法C i-1n-1=(n-1)õ(n-2)…(n-i+1)1õ2…(i-1)C n-i n-1=(n-1)õ(n-2)…(n-i)…[n-(n-i)]1õ2…i…(n-i)(12)可以得到:C n-i n-1=C n-1iõ(n-i)õ(n-i-1)…[n-(n-1-i)]õ[n-(n-i)]iõ(i+1)õ(i+2)…[n-1-(i-1)](13) 显然有:(n-i)õ(n-i-1)…[n-(n-1-i)]õ[n-(n-i)]iõ(i+1)õ(i+2)…[n-1-(i-1)]=1(14) 于是有:C i-1n-1=C n-i n-1,从而证明了X i=X n+1-i(i=1,2,…,n)性质2.2　1)如果n是奇数,权重满足X1<X2<…<X(n-1)/2<X(n+1)/2>X(n+3)/2>…>X n-1>X n(15) 2)如果n是偶数,权重满足X1<X2<…<X n/2-1<X n/2=X n/2+1>X n/2+1>…>X n-1>X n(16) 证明　无论n是奇数还是偶数,当1F i<i+1F[(n+1)/2][注1],要证明X i< X i+1,需且只需证明C i-1n-1<C i n-1.C n-1i=(n-1)õ(n-2)…(n-i)1õ2 (i)C i-1n-1=(n-1)õ(n-2)…(n-i+1)1õ2…i-1(17)C i-1n-1 C i n-1=in-i(18) 因为1F i<i+1F[(n+1)/2],有i<n-i,从而得到C i-1n-1C i n-1=in-i<1,于是C i-1n-1<C i n-1也就证明了X i<X i+1.当n是偶数时,证明X n/2=X n/2+1,亦只需证明n/2-1C n-1=C n/2n-1C n/2-1 n-1=(n-1)õ(n-2)…(n-n/2+1)1õ2…(n/2-1)C n/2n-1=(n-1)õ(n-2)…(n-n/2+1)õ(n-n/2)1õ2…(n/2-1)õn/2(19)显然有C n/2-1n-1=C n/2 n-1.再根据性质2.1,当[(n+1)/2]F i<i+1F n,有X i>X i+1成立,于是得证.性质2.3orness(X)=0.5(20) 证明　1)如果n是偶数or ness(X)=1n-1∑ni=1(n-i)X i=1n-1∑n2i=1[(n-i)X i+(n-(n+1-i))X n+1-i]∑n2=1[(n-i)+(n-(n+1n21)X i54数　学　的　实　践　与　认　识38卷=∑n 2i =1X i =12∑ni =1X i =0.5(21) 2)如果n 是奇数:or ness(X )=1n -1∑ni =1(n -i )X i=1n -1∑n -12i =1[(n -i )X i +(n -(n +1-i ))X n +1-i ]+n -n +12X n +12=1n -1∑n -12i =1[(n -i )+(n -(n +1-i ))]X i +n -12X n +12=1n -1∑n -12i =1(n -1)X i +1n -1õn -12X n +12=∑n -12i =1X i+12X n +12=12∑i ≠n +12X i +12X n +12=12∑ni =1X i =0.5(22) 性质2.4disp(X )=-2∑n -1/2-1i =0X i ln X i -X n -12ln X n -12,n 是奇数-2∑n /2-1i =0X i ln X i ,n 是偶数(23) 证明　根据定义式(3)和(11)式权重的对称性,显然得证.附表具体给出了n 从2到8的情形下的权重情况,以方便使用.3　依赖决策数据给出权重的方法以上这些都是根据决策数据排序位置决定的权重,在决策数据集结过程中首先要对决策数据进行排序,这样给出的权重没有很好的考虑数据的特性,为此给出下面的方法——依赖决策数据给出权重的方法.在方法介绍以前,对正态分布及其密度函数的性质给出介绍并作一些说明.定义[6](正态分布)　对于连续随机变量x ,以函数U a ,R (x )=1R2Pe -(x -a )22R 2(24) 作为密度函数的连续性分布叫做参数a ,R 2为的正态分布,记作N (a ,R 2),特别地,称参数为0,1的正态分布为标准正态分布N (0,1),又称高斯分布,其密度函数为U 0,1(x )简记为U (x ),其中:U (x )=12Pe-x 22(25) U (x )的图像见附图.下面给出U (x )的几条性质:553期王　煜,等:O WA 算子赋权新方法。