习 题 12.5 偏导数在几何中的应用1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+==.1,2x x z x y 在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点；（3）⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）⎩⎨⎧=+=+.,222222R z x R y x 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点。

解 （1）曲线的切向量函数为21(1,2,)(1)x x +，在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切线方程为)12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为252168=++z y x 。

（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2tt t -，在2π=t 对应点的切向量为。

于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2x y z π-++-+-=402x y π++--=。

（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。

于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ， 法平面方程为z x =。

（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R点的切线方程为222R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为022=+--R z y x 。

2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。

解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设，22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ⋅=++=，由此解出1t =-或13-，于是)1,1,1(-- 和 )271,91,31(--为满足题目要求的点。

3. 求曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin ,sin ===在2π=t 所对应的点处的切线的方向余弦。

解曲线的切向量函数为(sin 2,cos 2,sin 2)t t t -，将2t π=代入得)0,1,0(-，它是单位向量，所以是方向余弦。

4. 求下列曲面在指定点的切平面与法线方程： （1）3432y x z +=，在点)35,1,2(；（2）4e e =+zy zx ，在点)1,2ln ,2(ln ；（3）3322,,v u z v u y v u x +=+=+=，在点1,0==v u 所对应的点。

解（1）曲面的法向量函数为32(8,9,1)x y -，以(,,)(2,1,35)x y z =代入，得到(64,9,1)-，所以切平面方程为0)35()1(9)2(64=---+-z y x ，即 6491020x y z +--=，法线方程为13591642--=-=-z y x 。

（2）曲面的法向量函数为2211e ,e ,e e x y x yz z z z x yz z z z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以(,,)x y z(ln 2,ln 2,1)=代入，得到(2,2,4ln 2)-，所以切平面方程为ln 2ln 22ln 2(1)0x y z -+---=，即 02ln 2=-+z y x ,法线方程为)1(2ln 212ln 2ln --=-=-z y x 。

（3）由于22112233J uv u v ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以在1,0==v u 所对应的点处的法向量为 (0,3,2)-，所以切平面方程为3(1)2(1)0y z --+-=，即 0123=++-z y ,法线方程为10,1132x y z -=⎧⎪--⎨=⎪-⎩，即⎩⎨⎧=+=5321z y x 。

5. 在马鞍面xy z =上求一点，使得这一点的法线与平面093=+++z y x 垂直，并写出此法线的方程。

解 马鞍面的法向量(,,1)y x -与(1,3,1)平行，所以1131y x -==，即1,3,3y x z xy =-=-==，于是该点为(3,1,3)--，在该点处的法线方程为3)1(313-=+=+z y x 。

6. 求椭球面49832222=++z y x 的平行于平面753=++z y x 的切平面。

解 由于椭球面的法向量(2,4,6)x y z 与(1,3,5)平行，所以23135x y z==，解出35,23y x z x ==，代入椭球面方程可得6x =±，即切点为(6,9,10)±。

所以有两个切平面满足条件，切平面的方程分别为 0)10(5)9(3)6(=-+-+-z y x 与 0)10(5)9(3)6(=+++++z y x 即35830x y z ++±=。

7. 求圆柱面222a y x =+与马鞍面xy bz =的交角。

解 设(,,)x y z 是圆柱面与马鞍面交线上一点。

圆柱面在该点的的法向量为(2,2,0)x y ，马鞍面在该点的的法向量为(,,)y x b ，于是两法向量的夹角θ的余弦为cos θ===，所以θ=8. 已知曲面0322=--z y x ，求经过点)1,0,0(-A 且与直线212zy x ==平行的切平面的方程。

解 设切点为000(,,)x y z ， 则曲面在该点的法向量为00(2,2,3)x y --，切平面方程为00223(1)0x x y y z --+=。

由于切点在切平面上，所以22000223(1)0x y z --+=，与曲面方程相比较可得01z =。

由于切平面与直线平行，所以0000(2,2,3)(2,1,2)4260x y x y --⋅=--=，与曲面方程联立，并注意到01z =，可以求出切点坐标为(2,1,1)。

于是，切平面方程为03324=---z y x 。

9．设椭球面632222=++z y x 上点)1,1,1(P 处指向外侧的法向量为n ，求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数。

解 曲面的单位法向量为(4,6,2)(4,6,2)x y z x y z =n ，将点)1,1,1(P 的坐标代入，得到n =。

于是，函数u 在点P 处沿方向n 的方向导数为11,,7u u u u n x y z ⎛⎫∂∂∂∂=⋅== ⎪∂∂∂∂⎝⎭n 。

10．证明曲面)0(>=++a a z y x 上任一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。

证 设切点为000(,,)x y z ，则曲面在该点的法向量为⎛⎫，切平面方程为000)))0x x y y z z ---=， 即x y z==，所以截距之和为2a ==。

11．证明：曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t tt a z t a y t a x e ,sin e ,cos e 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。

解 易知曲线的切向量为(cos sin ,sin cos ,1)t ae t t t t -+，锥面的母线方向为(,,)(cos ,sin ,1)t x y z ae t t =，假定它们的夹角为θ，则cos θ==。

12．证明曲面0),(=--cz ay bz ax f 上的切平面都与某一定直线平行，其中函数f 连续可微，且常数c b a ,,不同时为零。

证 曲面的法向量为1212(,,)af af bf cf --，由于1212(,,)af af bf cf --(,,)0b c a ⋅≡，所以曲面的法向量与非零向量),,(a c b 垂直，即曲面的切平面都与向量),,(a c b 平行，也就是与以此向量为方向的直线平行。

13．证明曲面)0(≠⎪⎭⎫⎝⎛=x x y xf z 在任一点处的切平面都通过原点，其中函数f 连续可微。

证 易知曲面上任意一点000(,,)x y z 处的切向量为00000000()'(),'(),1y y y y f f f x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此过点000(,,)x y z 的切平面为0000000000()'()()'()()()0y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎛⎫--+---= ⎪⎝⎭， 容易验证，)0,0,0(满足上述方程，即所有切平面都经过原点。

14．证明曲面0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x y z x y z F 的所有切平面都过某一定点，其中函数F 具有连续偏导数。

证 易知曲面上任意一点000(,,)x y z 处的切向量为000233132222000000111,,y z x F F F F F F z x x y y z ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 因此过点000(,,)x y z 的切平面为000230310320222000000111()()()0y z x F F x x F F y y F F z z z x x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 容易验证，)0,0,0(满足上述方程，即所有切平面都经过原点。

15．设),,(z y x F 具有连续偏导数，且0222≠++z y x F F F 。

进一步，设k 为正整数，),,(z y x F 为k 次齐次函数，即对于任意的实数t 和),,(z y x ，成立),,(),,(z y x F t tz ty tx F k =。

证明：曲面0),,(=z y x F 上所有点的切平面相交于一定点。

证 利用齐次条件对t 求导，有1(,,)(,,)(,,)(,,)k x y z xF tx ty tz yF tx ty tz zF tx ty tz kt F x y z -++=，再令1t =，得到曲面上的点(,,)x y z 所满足的恒等式：),,(),,(),,(),,(z y x kF z y x zF z y x yF z y x xF z y x =++。

因为曲面上任意一点000(,,)x y z 处的法向量为()0(,,),(,,),(,,)xyzF x y z F x y z F x y z ，于是过点000(,,)x y z 的切平面方程为000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=。

利用前面的恒等式，切平面方程化为000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)0x y z F x y z x F x y z y F x y z z kF x y z ++==，显然切平面经过原点，所以原点就是所有切平面的交点。