专题25 全等三角形的存在性破解策略全等三角形的存在性问题的解题策略有：（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解．（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．例题讲解例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的表达式；（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可列方程组424032a bba-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1432ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以抛物线的表达式为213442y x x =-++．（2）显然OA ＝2， OB ＝3， OC ＝4． 所以225BC OB OC BA =+==． 若△P BD ≌△PBC ，则BD ＝ BC ＝5，PD ＝PC所以D 为抛物线与x 轴的左交点或右交点，点B ，P 在CD 的垂直平分线上， ①若点D 为抛物线与 x 轴的左交点，即与点A 重合．如图1，取AC 的中点E ，作直线BE 交抛物线于P 1（x 1，y 1），P 2（x 2．y 2）两点． 此时△P 1BC ≌△P 1BD ，△P 2BC ≌△P 2 B D ．由A 、C 两点的坐标可得点E 的坐标为（－1，2）． 所以直线BE 的表达式为1322y x =-+．联立方程组2132213442y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得114261262x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，224261262x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩ ． 所以点P 1，P 2的坐标分别为（4一26，1262-+）．（4＋26，1262--）．②若D 为抛物线与x 轴的右交点，则点D 的坐标为（8，0）． 如图2，取CD 的中点F ．作直线BF 交抛物线于P 3（x 3，y 3），P 4（x 4，，y 4）两点． 此时△P 3BC ≌△P 3BD ，△P 4BC ≌△P 4 B D ．由C 、D 两点的坐标可得点F 的坐标为（4，2）， 所以直线BF 的表达式为y ＝2x －6．联立方程组22613442y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得331418241x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，441418241x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩ 所以点P 3，P 4的坐标分别为（－1＋41，－8＋241），（ －1－41，－8－241）， 综上可得，满足题意的点P 的坐标为（426126-+），（426126--，（－1418＋41）或（－1418－41）．（3）由题意可设点M （0，m ），N （3，n ），且m ＞0，则AM 2＝4＋m 2，MN 2＝9＋（m －n ）2，BN 2＝n 2． 而∠AMN ＝∠ABN ＝900， 所以△AMN 与△ABN 全等有两种可能： ①当AM ＝AB ，MN ＝BN 时，可列方程组2224259()m m n n⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1121521m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩2221521m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（舍）， 所以此时点M 的坐标为（021）．②当AM ＝NB ，MN ＝BA 时，可列方程组：22249()25m nm n ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩·解得113252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223252m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）所以此时点M 的坐标为（0，32）． 综上可得，满足题意的点M 的坐标为（0，21）或（0，32）． 例2 如图，在平面直角坐标系xoy 中，△ABO 为等腰直角三角形，∠ABO ＝ 900，点A 的坐标为（4．0），点B 在第一象限．若点D 在线段BO 上，OD ＝ 2DB ，点E ，F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．图1 图2 解： 由题意可得OA ＝4，从而OB ＝AB ＝22．所以OD ＝23OB ＝423，BD ＝13OB ＝223．①当点F 在OA 上时，（ⅰ）若△DFO ≌△DFE ，点E 在OA 上．如图1．此时DF ⊥OA ，所以OF ＝22OD ＝43，所以OE ＝2OF ＝83，即点E 的坐标为（83，0）． （ⅱ）若△DFO ≌△DFE ，点F 在AB 上，如图2．此时ED ＝OD ＝2BD ，所以sin ∠BED ＝BD ED ＝12；所以∠BED ＝300， 从而BE ＝3BD ＝26，AE ＝6226-． 过点E 作EG ⊥OA 于点G ．则EG ＝AG ＝2AE ＝232-， 所以OG ＝232+，即点E 的坐标为（232+，232-）．图3 图4（ⅲ）若△DFO ≌△FDE ，点E 在AB 上，如图3．此时DE ∥OA ，所以BD ＝BE ． 从而AE ＝OD ＝423， 过点E 作EG ⊥OA 于点G ， 则EG ＝AG ＝22AE ＝43， 所以OG ＝83，即点E 的坐标为（83，43）．②当点F 在AB 上时，只能有△ODF ≌△AFD ，如图4． 此时DF ∥0A ．且点E 与点A 重合， 即点E 的坐标为（4，0）． 综上可得，端足条件的点E 的坐标为（83，0），（232+，232-），（83，43）或（4，0）．迸阶训练1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线21382y x x 与y 轴变于点C ． 直线l ；43yx 与抛物线的对称轴交于点E ．连结CE ，探究；抛物线上是否存在一点F ，使得△FOE ≌△FCE ．．若存在，请写出点F 坐标；若不存在，请说明理由．yxlECO答案：存在．点F 的坐标为（317，－4）或（317，－4）2． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1过点A （1，0）且与y 轴平行．直线l 2过点B （0，2）且与x 轴平行，直线l 1与l 2相交于点P ．E 为直线l 2上一点，反比例函数ky x（k ＞0）的图象过点E 且与直线l 1相交干点F ．（1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求点E 的坐标：若不存在，请说明理由．FE Al 2Byxl 1P O备用图Al 2Byxl 1PO答案： （1）k ＝2（2）存在．点E 的坐标为（38，2）或（83，2） 【提示】（2）易得点E （3k，2），F （1，k ）．①如图1，当k ＜2时，只能有△MEF ≌△PEF ．过点F 作FH ⊥y 轴于点H ，易证△BME ∽△HFM ，用k 表示相关线段的长度，从而得到BM ＝12，再解Rt△BME ，得k ＝34，所以点E 的坐标为（38，2）；②如图2，当k ＞2时，只能有△MEF ≌△PFE ． 过点F 作FQ ⊥y 轴于点Q ，同①可得点E 的坐标为（83，2）图1H FM Pl 2E yxl 1B O图2MQ FAP l 2Eyxl 1B O3．如图，抛物线2yax bx c 经过A （3，0），B （33，0），C （0，3）三点，线段BC 与抛物线的对称轴交干D ，该抛物线的顶点为P ，连结PA ，A D ．线段AD 与y 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q ．使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）抛物线的表达式为212333yx x（2）存在．点Q 的坐标为（4），2），（23，1）或（0，7）．【提示】（2）方法一：易求直线BC ：33yx ，从而点D 2），可得CD ＝PD ，所以△QCD 与△ADP 全等有两种情况．设点Q 坐标，通过两点间距离公式列出QC ，QD ，AP ，AD 的长．再分类讨论列方程组，从而求得点Q 点坐标．方法二：连接CP ，易证△CDP 为等边三角形，∠ADC ＝60°，所以∠PDA ＝120°．△QCD 与△ADP 全等有两种情况，①如图1，∠DCQ ＝120°，CQ ＝DA ＝4，此时点Q 1的坐标为（0，7），点Q 2的坐标为（23，1）；②如图2，∠CDQ ＝120°，DQ ＝DA ＝4，此时点Q 3的坐标为，－2），点Q 4的坐标为（4）。