金融工程练习题二
一、计算题
1.设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为$930，6个月期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为$910，求远期合约多头的价值。

2.假设6个月期和12个月期的无风险年利率分别为5%和6%，而一种十年期债券现货价格为800元，该证券一年期远期合约的交割价格为900元，该债券在6个月和12个月后都将收到$50的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。

3.股票价格为50美元，无风险年利率为10%，一个基于这个股票、执行价格都为40美元的欧式看涨和欧式看跌期权价格相差7美元，都将于6个月后到期。

这其中是否存在套利机会？如果有，应该如何进行套利？
4.假设一份5年期附息票债券，价格为900元。

假定这种债券的一年期远期合约的交割价格为910元。

预期在6个月后和12个月后将分别支付债券利息各40元，其中第二期利息支付恰好在远期合约交割日之前。

6个月期和1年期无风险年利率各为9％和10％。

求远期合约的价值。

5.假设黄金的现价为每盎司500美元，其存储成本为每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为6%。

求一年期黄金远期价格。

6.A股票现在的市场价格是20美元，年平均红利率为3％，无风险利率为8％，若该股票6个月的远期合约的交割价格为22美元，求该远期合约的价值及远期价格。

7.假设2年期即期利率为10.5%，3年期即期利率为11%，本金为100万美元的2年×3年远期利率协议的协议利率为11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的协议利率等于多少？
8.假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR，同时收取8％的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。

互换还有1.25年的期限。

3个月、9个月和15个月的LIBOR（连续复利率）分别为10％、10.5％和11％。

上一次利息支付日的6个月LIBOR为10.2％（半年计一次复利），求互换对银行的价值。

9、6个月后到期的欧式看涨期权的价格为2美元，执行价格为20美元，标的股票价格为19美元，预期2个月和5个月后的股利均为0.5美元，无风险利率为10%，利率期限结构为平坦。

6个月后到期的执行价格为20美元的欧式看跌期权的价格为多少？
10.某无红利支付股票的欧式期权执行价格为25美元，股票现价为26美元，无风险年利率为5%，股票年波动率为20%，期权到期日为4个月。

如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格。

11.某无红利支付股票的欧式期权执行价格为29美元，股票现价为30美元，无风险年利率为5%，股票年波动率为25%，期权到期日为4个月。

（1）如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格；（2）如果该期权为欧式看跌期权，计算其价格；（3）验证看涨看跌期权平价关系是否成立。

12.无风险年利率为10%，股票价格的年波动率为25%，计算标的为不支付红利的股票6个
月期的平价欧式看涨期权的Delta 值。

二、证明题
1.证明：对于支付已知现金收益的证券而言，其远期价格F 与现价S 之间的关系满足
()()r T t F S I e -=-。

（其中I 是远期合约期限所得现金收益的现值）2.证明：BSM 欧式看涨期权和欧式看跌期权定价公式符合欧式看涨期权和欧式看跌期权评价公式。

3.假设x 是在T 时刻支付1美元的贴现债券按连续复利计息的到期收益率。

假设x 遵循如下过程：0()dx x x dt sxdz α=-+，其中α、0x 和s 是正常数，dz 是维纳过程。

试证明：
22201()()()()2dB x x T t x s x T t Bdt sx T t Bdz α⎡⎤=---++---⎢⎥⎣⎦
4.证明：支付已知红利率q（连续复利）的欧式看涨期权的Delta 值为)(1)(d N e t T q --=∆。