第一题：一、摘要本文是一篇关于基金的使用计划模型。

在现实经济高速发展的背景下，人们越来越清醒地意识到：一个合理的数学应用模型对于现今生产、投资、规划等实际应用项目的重要性。

本文所建立的存款模型就是个很好的例子，此模型最终要解决的是选择最佳基金使用计划，使得学校基金会能够有充分的资金在基金会运转。

这个模型的解决是我们更清楚掌握了最优化模型的解决方法及LINGO软件求解线性规划的方法。

二、问题的提出某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。

当前银行存款及各期国库券的利率见下表。

假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。

取款政策参考银行的现行政策。

校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。

校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券。

3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金二、模型的假设（1）银行利息和国库券结算方式为单利;(2) 定期存款和国库券不到期均不能取款；（3）国库券每年发行一期，发行月份不定，但于发行月一号发行；（4）基金结算后马上又进行投资（存入银行或买国库券）中间间隔时间不予考虑；（5）定期存款实际收益利率为公布利率的80%（20%为利息税上交国库）国库券存款利率与同期的定期存款利率相同，但不交利息税;（6）每年年初评奖且奖金数目相同（除第三问），N年后本金仍为M;三、符号的说明x第i年所存入银行的j年期的存款；ijy第i年说购买的j年期的国库券；ij'r银行同期活期利率；r银行同期活期税后利率；'r银行同期j年期固定利率；jr银行同期j年期固定利率税后利率；jM本金=5000万元，Z=每年的奖金四、模型的建立与求解第一种情况：只存款不买国库券我们考虑到这种情况下，存款的时间是一定的，所以活期和三个月，半年的利率都太低，所以在这种情况下，我们直接考虑一年的利率，这样才能获得较多的利息，从而使得每年发放的奖金数目尽可能多——即我们要实现的目标。

我们先把税后利率算出来，代入到我们所列的线形方程组，并将其在LINGO 求解（详细内容见附件1）,在模型的建立中,我们运用分批存款的思想,就是把M 本金分成几份,每份采取的存款方案不同,其符号表示的意义见符号说明.方程如下：111213152122232511131323335122211414243451332223115152535523332241161626365;(1);(12)(1);(13)(12)(1);(13)(12)(1);x x x x M x x x x x r z x x x x x r x r z x x x x x r x r x r z x x x x x r x r x r z x x x x +++=+++=+-+++=+++-+++=+++++-+++=+++++-+++1553334225117172732554335226118182833555336227119192455633722(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)x r x r x r x r z x x x x r x r x r x r z x x x x r x r x r x r z x x x r x r x r =+++++++-++=+++++++-++=+++++++-+=+++++8111015557338229116558339221011(1);(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)(1).x r z x x r x r x r x r z M x r x r x r x r z ++-=+++++++-=+++++++-第二种情况：可存款也可购国库券。

假设国库券每年的第n 月发行。

则当n=1时可建立下列模型：1112131512131521222325222325111'313233353233351222111224142434542434513322231113;(1);(12)(1)(12);(13)(12)(1)(13x x x x y y y M x x x x y y y x r z x x x x y y y x r x r y r z x x x x y y y x r x r x r y ++++++=++++++=+-++++++=+++++-++++++=+++++++''3222''51525355525355233322411233322''61626365626365155333422511155333)(12);(13)(12)(1)(13)(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13)r y r z x x x x y y y x r x r x r y r y r z x x x x y y y x r x r x r x r y r y r ++-++++++=+++++++++-++++++=++++++++++++'422'''7172737273255433522611255433522''8182838283355533622711355533(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13y r z x x x y y x r x r x r x r y r y r y r z x x x y y x r x r x r x r y r y r +-++++=+++++++++++++-++++=+++++++++++'622'''919292455633722811455633722'''10155573382291155573382265)(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12);y r z x x y x r x r x r x r y r y r y r z x x r x r x r x r y r y r y r z M x ++-++=+++++++++++++-=+++++++++++++-='''58339221011655833922(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12).r x r x r x r y r y r y r z +++++++++++++-当2<=n<=3时，将资金分成两部分，一部分用于银行存款，另一部分用于购买国库券，用于购买国库券的资金可以先存（n-1）个月的活期银行存款，然后本息和全用于购买国库券。

第九年已不再能够买国库券，可将到期的国库券本息先存半年定期，再存三个月定期，再存（4-n ）个月活期，第十年存为一年定期。

第十年到期的国库券存半年定期，再存三个月定期，再存（4-n ）个月活期可建立模型如下：11121315121315121315021222325222325111'31323335323335122211122414243454243451331()(1);1112(1);(12)(1)(12);(13)x x x x y y y M y y y n r x x x x y y y x r z x x x x y y y x r x r y r z x x x x y y y x r ++++++=+++--+++++++=+-++++++=+++++-++++++=++''222311133222''51525355525355233322411233322616263656263155333422511(12)(1)(13)(12);(13)(12)(1)(13)(12);(15)(13)(12)(1)x r x r y r y r z x x x x y y y x r x r x r y r y r z x x x x y y x r x r x r x r +++++++-++++++=+++++++++-+++++=++++++++'''1553334227172737273255433522611'''255433522818283823555336227113(15)(13)(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12);(15)(13)(12)(1)y r y r y r z x x x y y x r x r x r x r y r y r y r z x x x y x r x r x r x r y +++++-++++=+++++++++++++-+++=++++++++'''554335229192455633722811''101555733822911455633'7221124(15)(13)(12);(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)(1)((15)(13)114(12))(1)(1)(12412r y r y r z x x x r x r x r x r z x x r x r x r x r y r y r n y r r r +++++-+=+++++++-=+++++++++++-+++++06558339221011'''55573382211024);(15)(13)(12)(1)114((15)(13)(12))(1)(1)(1).2412r z M x r x r x r x r ny r y r y r r r r z -=+++++++-+++++++++-上述的几种情况下,国库券第一种情况Z 值最大第三种情况下:学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

只需将上述两种情况中第八年所发发奖金z 改为1.2z 即可。

我们只考虑第二问情况下的第一种情形,即国库券为第一个月发行1112131512131521222325222325111'313233353233351222111224142434542434513322231113;(1);(12)(1)(12);(13)(12)(1)(13x x x x y y y M x x x x y y y x r z x x x x y y y x r x r y r z x x x x y y y x r x r x r y ++++++=++++++=+-++++++=+++++-++++++=+++++++''3222''51525355525355233322411233322''61626365626365155333422511155333)(12);(13)(12)(1)(13)(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13)r y r z x x x x y y y x r x r x r y r y r z x x x x y y y x r x r x r x r y r y r ++-++++++=+++++++++-++++++=++++++++++++'422'''7172737273255433522611255433522''8182838283355533622711355533(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13y r z x x x y y x r x r x r x r y r y r y r z x x x y y x r x r x r x r y r y r +-++++=+++++++++++++-++++=+++++++++++'622'''919292455633722811455633722'''101555733822911555733822)(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12);(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12) 1.2;y r z x x y x r x r x r x r y r y r y r z x x r x r x r x r y r y r y r z M ++-++=+++++++++++++-=+++++++++++++-='''6558339221011655833922(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12).x r x r x r x r y r y r y r z +++++++++++++-附件1：用LINGO 编程如下：max= z;x11+x12+x13+x15=5000;x21+x22+x23+x25=1.01584*x11-z;x31+x32+x33+x35=1.036*x12+1.01584*x21-z;x41+x42+x43+x45=1.06048*x13+1.036*x22+1.01584*x31-z;x51+x52+x53+x55=1.06048*x23+1.036*x32+1.01584*x41-z;x61+x62+x63+x65=1.1116*x15+1.06048*x33+1.036*x42+1.01584*x51-z;x71+x72+x73=1.1116*x25+1.06048*x43+1.036*x52+1.01584*x61-z;x81+x82+x83=1.1116*x35+1.06048*x53+1.036*x62+1.01584*x71-z;x91+x92=1.1116*x45+1.06048*x63+1.036*x72+1.01584*x81-z;x101=1.1116*x55+1.06048*x73+1.036*x82+1.01584*x91-z;5000=1.1116*x65+1.06048*x83+1.036*x92+1.01584*x101-z;end附件2.用LINGO编程如下：max= z;x11+x12+x13+x15+y12+y13+y15=5000;x21+x22+x23+x25+y22+y23+y25=1.01584*x11-z;x31+x32+x33+x35+y32+y33+y35=1.036*x12+1.01584*x21+1.045*y12-z;x41+x42+x43+x45+y42+y43+y45=1.06048*x13+1.036*x22+1.01584*x31+1.0756*y13+1.045*y 22-z;x51+x52+x53+x55+y52+y53+y55=1.06048*x23+1.036*x32+1.01584*x41+1.0756*y23+1.045*y 32-z;x61+x62+x63+x65+y62+y63+y65=1.11160*x15+1.06048*x33+1.036*x42+1.01584*x51+1.1395 *y15+1.0756*y33+1.045*y42-z;x71+x72+x73+y72+y73=1.11160*x25+1.06048*x43+1.036*x52+1.01584*x61+1.1395*y25+1.07 56*y43+1.045*y52-z;x81+x82+x83+y82+y83=1.11160*x35+1.06048*x53+1.036*x62+1.01584*x71+1.1395*y35+1.07 56*y53+1.045*y62-z;x91+x92+y92=1.11160*x45+1.06048*x63+1.036*x72+1.01584*x81+1.1395*y45+1.0756*y63+1. 045*y72-z;x101=1.11160*x55+1.06048*x73+1.036*x82+1.01584*x91+1.1395*y55+1.0756*y73+1.045*y82 -z;5000=1.11160*x65+1.06048*x83+1.036*x92+1.01584*x101+1.1395*y65+1.0756*y83+1.045*y9 2-z;附件3.当n=2时，用LINGO编程如下：max= z;x11+x12+x13+x15+0.9994*y12+0.9994*y13+0.9994*y15=5000;x21+x22+x23+x25=1.01584*x11-z;y32+y33+y35=1.045*y12;x31+x32+x33+x35=1.036*x12+1.01584*x21-z;y42+y43+y45=1.0756*y13;x41+x42+x43+x45=1.06048*x13+1.036*x22+1.01584*x31-z;y52+y53+y55=1.045*y32;x51+x52+x53+x55=1.06048*x23+1.036*x32+1.01584*x41-z;y62+y63+y65=1.1395*y15+1.0756*y33+1.045*y42;x61+x62+x63+x65=1.11160*x15+1.06048*x33+1.036*x42+1.01584*x51-z;y72+y73=1.0756*y43+1.045*y52;x71+x72+x73=1.11160*x25+1.06048*x43+1.036*x52+1.01584*x61-z;y82+y83=1.1395*y35+1.0756*y53+1.045*y62;x81+x82+x83=1.11160*x35+1.06048*x53+1.036*x62+1.01584*x71-z;x91+x92=1.11160*x45+1.06048*x63+1.036*x72+1.01584*x81-z;x101=1.11160*x55+1.06048*x73+1.036*x82+1.01584*x91+1.1532*y45+1.0885*y63+1.0575*y 72-z;5000=1.11160*x65+1.06048*x83+1.036*x92+1.01584*x101+1.1532*y55+1.0885*y73+1.0575* y82-z;当n=3时，用LINGO编程如下：max= z;x11+x12+x13+x15+0.9988*y12+0.9988*y13+0.9988*y15=5000;x21+x22+x23+x25=1.01584*x11-z;y32+y33+y35=1.045*y12;x31+x32+x33+x35=1.036*x12+1.01584*x21-z;y42+y43+y45=1.0756*y13;x41+x42+x43+x45=1.06048*x13+1.036*x22+1.01584*x31-z;y52+y53+y55=1.045*y32;x51+x52+x53+x55=1.06048*x23+1.036*x32+1.01584*x41-z;y62+y63+y65=1.1395*y15+1.0756*y33+1.045*y42;x61+x62+x63+x65=1.11160*x15+1.06048*x33+1.036*x42+1.01584*x51-z;y72+y73=1.0756*y43+1.045*y52;x71+x72+x73=1.11160*x25+1.06048*x43+1.036*x52+1.01584*x61-z;y82+y83=1.1395*y35+1.0756*y53+1.045*y62;x81+x82+x83=1.11160*x35+1.06048*x53+1.036*x62+1.01584*x71-z;x91+x92=1.11160*x45+1.06048*x63+1.036*x72+1.01584*x81-z;x101=1.11160*x55+1.06048*x73+1.036*x82+1.01584*x91+1.1526*y45+1.088*y63+1.057*y72-z;5000=1.11160*x65+1.06048*x83+1.036*x92+1.01584*x101+1.152632*y55+1.088*y73+1.057* y82-z;附件4.用LINGO编程如下：max= z;x11+x12+x13+x15+0.9966*y12+0.9966*y13+0.9966*y15=5000;x21+x22+x23+x25=1.01584*x11-z;y32+y33+y35=1.045*y12;x31+x32+x33+x35=1.036*x12+1.01584*x21-z;y42+y43+y45=1.0756*y13;x41+x42+x43+x45=1.06048*x13+1.036*x22+1.01584*x31-z;y52+y53+y55=1.045*y32;x51+x52+x53+x55=1.06048*x23+1.036*x32+1.01584*x41-z;y62+y63+y65=1.1395*y15+1.0756*y33+1.045*y42;x61+x62+x63+x65=1.11160*x15+1.06048*x33+1.036*x42+1.01584*x51-z;y72+y73=1.0756*y43+1.045*y52;x71+x72+x73=1.11160*x25+1.06048*x43+1.036*x52+1.01584*x61-z;y82+y83=1.1395*y35+1.0756*y53+1.045*y62;x81+x82+x83=1.11160*x35+1.06048*x53+1.036*x62+1.01584*x71-z;x91+x92=1.11160*x45+1.06048*x63+1.036*x72+1.01584*x81-z;x101=1.11160*x55+1.06048*x73+1.036*x82+1.01584*x91+1.1498*y45+1.0853*y63+1.0 544*y72-z;5000=1.11160*x65+1.06048*x83+1.036*x92+1.01584*x101+1.1498*y55+1.0853*y73+1.0544* y82-z;附件5.用LINGO编程如下：max= z;x11+x12+x13+x15+y12+y13+y15=5000;x21+x22+x23+x25+y22+y23+y25=1.01584*x11-z;x31+x32+x33+x35+y32+y33+y35=1.036*x12+1.01584*x21+1.045*y12-z;x41+x42+x43+x45+y42+y43+y45=1.06048*x13+1.036*x22+1.01584*x31+1.0756*y13+1.045*y 22-z;x51+x52+x53+x55+y52+y53+y55=1.06048*x23+1.036*x32+1.01584*x41+1.0756*y23+1.045*y 32-z;x61+x62+x63+x65+y62+y63+y65=1.11160*x15+1.06048*x33+1.036*x42+1.01584*x51+1.1395 *y15+1.0756*y33+1.045*y42-z;x71+x72+x73+y72+y73=1.11160*x25+1.06048*x43+1.036*x52+1.01584*x61+1.1395*y25+1.07 56*y43+1.045*y52-z;x81+x82+x83+y82+y83=1.11160*x35+1.06048*x53+1.036*x62+1.01584*x71+1.1395*y35+1.07 56*y53+1.045*y62-1.2*z;x91+x92+y92=1.11160*x45+1.06048*x63+1.036*x72+1.01584*x81+1.1395*y45+1.0756*y63+1. 045*y72-z;x101=1.11160*x55+1.06048*x73+1.036*x82+1.01584*x91+1.1395*y55+1.0756*y73+1.045*y82 -z;5000=1.11160*x65+1.06048*x83+1.036*x92+1.01584*x101+1.1395*y65+1.0756*y83+1.045*y9 2-z;第二题：卖方小工具的需求：目标函数首页上一页下一页我们在制定该模型将是第一个通过构造目标函数。