专题07 直线与椭圆的解题方法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【方法总结】（一）直线与椭圆关系求离心率 （二）对称问题 （三）椭圆与圆（四）直线与椭圆的中点弦问题 （五）定点问题 （六）定值问题 （七）范围问题 （八）探索性问题 四．【题型归纳】（一）直线与椭圆关系求离心率例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．83D ．32或83【答案】A【解析】如图 设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k = 0000022y y x a c x c-∴=++-,即00002y y c x x a c =++-,002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A.练习1.已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x yC a b a b+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y += D.2212016x y += 【答案】A【解析】由题意，过原点O 且倾斜角为30o 的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ， 且12AF AF ⊥，且122F AF S ∆=，则可知OA c =， 设(,)A x y ，则31cos30,sin 302x c y c c ====o o ，即31,)2A c , 代入椭圆的方程可得2222144c c a b+=又由122F AF S ∆=，则211122222S c c c =⨯⨯== ，解答24c =，且222c a b =-， 解得226,2a b ==，所以椭圆的方程为22162x y +=，故选A.方法2，利用焦点三角形面积公式2tan ||||21221θb y F F S A ==（21AF F ∠=θ） 求出坐标31,)2A c ，带入第一个面积公式求c ，利用第二个面积公式2πθ=求b练习2.已知F 1，F 2为椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，过点F 1作x 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点．当△F 2PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为e 1，当△F 2PQ 为等边三角形时， 椭圆C 的离心率为e 2，则e 1，e 2的大小关系为e 1______e 2 （用“＞”，“＜”或“=”连接） 【答案】＜ 【解析】把x c =-代入椭圆方程可得：22221c y a b+=，解得：2by a =± ①当2F PQ ∆为等腰直角三角形时，可得：22b c a=，即222a c ac -=化为：211210e e +-=，101e <<解得：1212e -+== ②当2F PQ ∆为等边三角形时，22b c a=)222a c ac -=22220e +=，201e <<解得：2e =则1e ，2e 的大小关系为：12e e <本题正确结果：<（二）对称问题例2. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆:C 22221y x a b+=()0a b >>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,64ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．0,3⎛ ⎝⎦B．0,2⎛ ⎝⎦C．,32⎣⎦D．,33⎣⎦ 【答案】A【解析】OP Q 在y 轴上，且平行四边形中，MN OP P ，∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M 、N 两点关于x 轴对称，而MN OP a ==，可设,2a M x ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：||x =，得,2a N ⎫⎪⎪⎝⎭， α为直线ON的倾斜角，tan aa ==，,,tan 164a ππα⎛⎤∈<≤ ⎥⎝⎦，1<≤，1a b ∴<≤1b a ≤<22113b a ∴≤<，而221ab ac e -==0e ∴<≤． ∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦．故选A 项．练习1. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在直线2a x c =（其中222cb a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A．0,2⎛ ⎝⎦B．0,3⎛ ⎝⎦ C．3⎫⎪⎪⎣⎭ D．,12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ，设点2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭， 则由中点公式可得线段1PF 的中点221(,22a c K m c - )，∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，即2221212m m a a c c c c c--⋅=--+-， 22230a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4224230a a c c ∴--≤，423210e e ∴+-≥，213e ∴≥，或21(e ≤-舍去)，e ∴≥． 又椭圆的离心率 01e <<，故13e ≤<， 故选：C ．练习2. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且85AP PQ =uu u r uu u r， 椭圆C 的离心率为___.【答案】12【解析】：设0(,0)Q x ，由(,0)F c -，(0,)A b 知∵FA AQ ⊥u u u r u u u r ，0FA AQ ⋅=u u u r u u u r ,∴200cx b -=，20b x c= 设11(,)P x y ，由85AP PQ =uu u r uu u r 得21813b x c =，1513y b = 因为点P 在椭圆上，所以222221851313b a c bb +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭整理得2b 2=3ac ，即2（a 2-c 2）=3ac ，2e 2+3e -2=0，故椭圆的离心率12e =（三）椭圆与圆例3.如图，1A ，2A 分别是椭圆2214xy +=的左、右顶点，圆1A 的半径为2，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q ，则2PQ QA =_______．【答案】34【解析】连结1PO PA 、，可得1POA n 是边长为2的等边三角形，所以1160PAO POA ∠∠==︒， 可得直线1PA 的斜率1603k tan =︒=PO 的斜率为21203k tan =︒=- 因此，直线1PA 的方程为)32y x =+，直线PO 的方程为3y x =， 设()P m n ，，由)323y x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得1m =-， 因为圆1A 与直线2PA 相切于点P ，所以21PA PA ⊥，因此219030PA O PAO ∠∠=︒-=︒， 故直线2PA 的斜率3150k tan =︒=2PA 的方程为)32y x =-，代入椭圆方程2214x y +=，消去y 得271640xx -+=，解得2x =或27x =， 因为直线2PA 交椭圆于()22,0A 与Q 点，设(),Q s t ，可得27s =， 由此可得22213722427Q P A Q x x PQ s m QA x x s +--====---. 故答案为34练习1.祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为222(0,0)x y r y r +=≥>，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r =，y r =交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与OAP ∆绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 【答案】223ab π 【解析】如图，这是椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体，所以半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体为：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理，得出该几何体的体积是V V V =-圆柱圆锥22212=33b a b a b a πππ-=；答案：223ab π练习2.已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______. 【答案】31e =【解析】解法1：如图，设122F F c =，1OF c =，因为¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2：1，故1120AOF ∠=o ，260AOF ∠=o ，所以2AOF △为正三角形，故2AF c =.在等腰1AOF △中，求得13AF c =.根据椭圆的定义，可得)12231a AF AF c =+=，故椭圆的离心率231231c c e a a ====+. 解法2：如图，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，122F F c =.由题意，易知1120AOF ∠=o，260AOF ∠=o，所以2AOF △为正三角形，故13,22A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为点A 在椭圆上，所以22223144c c a b+=，即()222223144c c a a c +=-，即()22231441e e e +=-， 整理，得()22221344e eee -+=-，即42840e e -+=，解得2423e =+2423e =-31e =.练习3.设p 是椭圆2213632x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()2221x y -+=和()22124x y ++=上的点，则PM PN +的取值范围为______【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡227221， 【解析】首先将P 点固定于一处，设两圆心分别为12,C C ，则1211,2r r ==，且12,C C 为椭圆的焦点， 根据圆外一点到与圆上的点的距离的范围可得11221111,22PC PM PC PC PN PC -≤≤+-≤≤+， 从而得到12123322PC PC PM PN PC PC +-≤+≤++，根据椭圆的定义可知1212PC PC +=，所以PM PN +的取值范围为2127[,]22， 故答案是：2127[,]22.（四）直线与椭圆的中点弦问题例4.已知椭圆T ： 22221(>0)x y a b a b +=>的离心率为2，右焦点为()1,0F ,三角形ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设它的三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0。