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实验1 算法的数值稳定性实验
【实验目的】
1．掌握用MATLAB 语言的编程训练，初步体验算法的软件实现；
2．通过对稳定算法和不稳定算法的结果分析、比较，深入理解算法的数值稳定性及其重要性。
【实验内容】
1．计算积分 ()dx a x x I n
⎰+=1
0)(n (n=0,1,2......，10) 其中a 为参数，分别对a=0.05及a=15按下列两种方案计算，列出其结果，并对其可靠性，说明原因。
2．方案一 用递推公式 n aI I n 11n +
-=- (n=1,2,......,10) 递推初值可由积分直接得)1(0a
a In I += 3. 方案二 用递推公式 )1(11-n n
I a I n +-= (n=N,N -1,......,1) 根据估计式 ()()()11111+<<++n a I n a n 当1
n a +≥n 或
()()n
1111≤<++n I n a 当1
n n a 0+<≤ 取递推初值为 ()()()()11212])1(1111[21N +++=++++≈N a a a N a N a I 当1
a +≥N N 或 ()()]1111[21N
N a I N +++= 当1a 0+<
≤N N 计算中取N=13开始
【解】:手工分析怎样求解这题。
【计算机求解】:怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数形式？
【程序如下】:
% myexp1_1.m --- 算法的数值稳定性实验
% 见 P11 实验课题(一)
%
function try_stable
global n a
N = 20; % 计算 N 个值
a =0.05;%或者a=15
% %--------------------------------------------
% % [方案I] 用递推公式
%I(k) = - a*I(k-1) + 1/k
%
I0 =log((a+1)/a); % 初值
I = zeros(N,1); % 创建 N x 1 矩阵(即列向量),元素全为零
I(1) =-a*I0+1;
for k = 2:N
I(k) =-a*I(k-1)+1/k;
end
% %--------------------------------------------
% % [方案II] 用递推公式
%I(k-1) = ( - I(k) + 1/k ) / a
%
II = zeros(N,1);
if a >= N/(N+1)
II(N)=(2*a+1)/(2*a*(a+1)*(N+1));
else
II(N) =(1/(a+1)/(N+1)+1/N)/2;
end
for k = N:-1:2
II(k-1) =(-II(k)+1/k)/a;
end
% %--------------------------------------------
% % 调用 matlab 高精度数值积分命令 quadl 计算以便比较
III = zeros(N,1);
for k = 1:N
n = k;
III(k) = quadl(@f,0,1);
end
% %--------------------------------------------
% % 显示计算结果
clc
fprintf('\n 方案I结果方案II结果精确值') for k = 1:N,
fprintf('\nI(%2.0f) %17.7f %17.7f %17.7f',k,I(k),II(k),III(k))
end
% %--------------------------------------------
function y = f(x) % 定义函数
global n a % 参量 n 为全局变量
y =x.^n./(a+x); % ★注意:这里一定要 '点' 运算
return
% %--------------------------------------------
【运行结果如下】：
当a=0.05
方案I结果方案II结果精确值
I( 1) 0.8477739 -919648916620722180000.0000000 0.8477739 I( 2) 0.4576113 45982445831036109000.0000000 0.4576113 I( 3) 0.3104528 -2299122291551805700.0000000 0.3104528 I( 4) 0.2344774 114956114577590290.0000000 0.2344776
I( 5) 0.1882761 -5747805728879515.0000000 0.1882761
I( 6) 0.1572529 287390286443975.9400000 0.1572529
I( 7) 0.1349945 -14369514322198.6540000 0.1349945
I( 8) 0.1182503 718475716110.0577400 0.1182503
I( 9) 0.1051986 -35923785805.3917770 0.1051986
I(10) 0.0947401 1796189290.3695889 0.0947401
I(11) 0.0861721 -89809464.4275704 0.0861724
I(12) 0.0790247 4490473.3047119 0.0790247
I(13) 0.0729718 -224523.5883125 0.0729718
I(14) 0.0677800 11226.2508442 0.0677800
I(15) 0.0632777 -561.2458755 0.0632777
I(16) 0.0593361 28.1247938 0.0593361
I(17) 0.0558567 -1.3474162 0.0558567
I(18) 0.0527627 0.1229264 0.0527627
I(19) 0.0499934 0.0464853 0.0499934
I(20) 0.0475003 0.0476757 0.0475003
当a=15
方案I结果方案II结果精确值
I( 1) 0.0319222 0.0319222 0.0319222
I( 2) 0.0211673 0.0211673 0.0211673
I( 3) 0.0158245 0.0158245 0.0158245
I( 4) 0.0126326 0.0126326 0.0126326
I( 5) 0.0105112 0.0105112 0.0105112
I( 6) 0.0089993 0.0089993 0.0089993
I( 7) 0.0078674 0.0078674 0.0078674
I( 8) 0.0069883 0.0069883 0.0069883
I( 9) 0.0062862 0.0062859 0.0062859
I(10) 0.0057064 0.0057117 0.0057117
I(11) 0.0053136 0.0052336 0.0052337
I(12) 0.0036289 0.0048293 0.0048296
I(13) 0.0224896 0.0044830 0.0044838
I(14) -0.2659159 0.0041831 0.0041831
I(15) 4.0554050 0.0039207 0.0039207
I(16) -60.7685756 0.0036893 0.0036893
I(17) 911.5874579 0.0034837 0.0034837
I(18) -13673.7563129 0.0033002 0.0032998
I(19) 205106.3973248 0.0031283 0.0031344
I(20) -3076595.9098724 0.0030754 0.0029847>>
【结果分析】：
1、综上所述，当a=0.05的时候，方案二算法的结果从I(20)开始计算，刚开始的时候与精确解相差不大，但是随着计算的进行，误差变得越来越大，最终与原来的精确解相差十分巨大，而方案一算法的数值结果始终与精确解相差不大，是稳定的算法。
2、当a=15的时候，反而是方案二的算法的数值结果与精确解更为接近，方案一算法
的结果随着算法运算的进行，与精确解相差变大了。
3、以上的实验说明了我们在进行数值分析时一定要选择合适的算法，而不能盲目的选择单一的算法，因为随着数值的变化，可能稳定的算法也会出现很大的误差。
所以我们要根据实际问题来确定合适的算法，才能尽可能的减小误差。