知识要点幻方与数表二、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。
三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。
四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。
五、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。
ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
（只要构造出一种）一、 若一个n n ⨯的方阵1111n n nna a a a 是n 阶幻方，则方阵1111n n nn a b c a b ca b ca b c⨯+⨯+⨯+⨯+也是n 阶幻方。
数表中心数幻和三阶幻方的性质幻方的构造幻方幻方与数表（本讲）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。
答案如图所示。
（方法二）与1~9的3阶幻方相比，每个空格上的数都增加2008； 根据1~9的3阶幻方的8个图可以求出原题的答案。
答案如图所示。
【例2】 请构造出一个3阶幻方，使其幻和为2010。
（只要构造出一种）【分析】 因为3阶幻方的幻和为2010；所以，中心数为20103670÷=。
与1~9的3阶幻方的中心数5相比，中心数增加了6705665-=或者放大了6705134÷= 或者先增加62再放大10或者先放大150再减小80。
根据1~9的3阶幻方的图，将每个方格上的数“665+”或者“134⨯”或者“先62+再10⨯”或者“先150⨯再80-”可以求出原题的答案。
答案如图所示，答案不惟一。
可以通过其它线性变换构造成幻方，也可以通过旋转或者镜像变换得到其它的幻方。
_6407106607006306806906706508351672944927615385201270220970820706703701120673668670666671672667674669835167294每个方格上的数x 134每个方格上的数+66549276153840267093880413410725361206268【例3】 一个3阶幻方，每个方格里的数均为自然数，且其中最大的数为2009，最小的数不小于1970，请试说明，这样的幻方中9个方格中的数全都不相同的有4种，并构造出这4种幻方。
【分析】 因为每个方格里的数均为自然数；所以，这9个数组成从小到大排列的等差数列的公差为自然数。
所以，最大的数2009减去最小的数的差为8的倍数。
因为2009197039-=；所以，最大的数减去最小的数的差为8或16或24或32； 所以，符合题意的幻方共有4种。
公差为1的9个数：2001、2002、2003、2004、2005、2006、2007、2008、2009； 公差为2的9个数：1993、1995、1997、1999、2001、2003、2005、2007、2009； 公差为3的9个数：1985、1988、1991、1994、1997、2000、2003、2006、2009； 公差为4的9个数：1977、1981、1985、1989、1993、1997、2001、2005、2009。
构造成符合题意的3阶幻方如图所示。
199720011981200919931977200519851989200020031988200919971985200619911994200320051995200920011993200719971999200920082007200620052004200320022001【例4】 （1997年第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试试题）你能在33⨯的方格表中每个格子里填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于1997吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由。
IHG F E D C B A【分析】 如图所示，假设9个空格里能分别填上自然数A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 。
1997D E F ++=∵、1997B E H ++=、1997A E I ++=、1997C E G ++=()()()()()3D E F B E H A E I C E G A B C D E F G H I E +++++++++++=+++++++++∴199747988=⨯=199735991A B C D E F G H I ++++++++=⨯=∵3798859911997E =-=∴；19973E =与E 是自然数相矛盾。
∴原假设不成立，不能填入满足题意的9个自然数在方格表中。
【例5】 （2008年3月第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动六年级决赛）如图所示，9个小正方形内各填入一个有理数，使每行每列以及两条对角线上的三个有理数的和相等。
现在29和76两个数已给出，那么x =（ ）。
2976x52.52976【分析】 中心数297610552.522x +===【例6】 （第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛）图中有9个方格，要求每个方格中填入不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。
问图中左上角的数是多少？1319?【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）设中心数22R C x =，则幻和3x =，所以，33R C =幻和11223?2?R C R C x x x --=--=- 31R C =幻和3233313(2?)?13R C R C x x x --=---=+- 13R C =幻和2333319(2?)?19R C R C x x x --=---=+-幻和132231(?13)(?19)32?323R C R C R C x x x x x =++=+-+++-=+-= 所以，?32216=÷=161913x +?-19132x -?19x ?2x -??1319x x 19?13x +?-13【例7】 （2008年3月第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛）如图，要在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列及对角线的3个数之和都相等，问号处应填入的数。
要求写出关键的解题推理过程。
？86547711109437658658？865【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）。
中心数11332268722R C R C R C ++===， 111213132231R C R C R C R C R C R C ++=++∵；31111222?6574R C R C R C R C ==+-=+-=∴【例8】 （2008年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛三年级）在下面的方格中填上合适的数，使得每一横行、竖行、斜行的三个数之和相等，则图中涂上阴影的方格中所填的数是________。
【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）111213132333R C R C R C R C R C R C ++=++∵ 331112232081810R C R C R C R C =+-=+-=∴ ∴中心数11332220101522R C R C R C ++=== 即图中涂上阴影的方格所填的数为15【例9】 （2008年4月第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试）在图中的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等，则______N =。
N 12166814818410616212188410616212248N 106161210N 121668【分析】 设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数（,1i j =、2、3）幻和112131861630R C R C R C =++=++=；所以22R C =幻和1133308121R C R C --=--= 或中心数2230103R C ===或中心数1133228121022R C R C R C ++====； 13R C =幻和22313010164R C R C --=--=，32R C =幻和31333016122R C R C --=--=；12R C N ==幻和1113308418R C R C --=--=或12R C N ==幻和22323010218R C R C --=--=。