浙教版 初中数学 关于动点问题的总结“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静关键:动中求静.数学思想:分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系, 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式; 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NG POAB图1xy(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时,①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1),则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, AEDCB 图2A3(2)3(1)∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(2004年·上海)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形,(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值 一、以动态几何为主线的题 (一)点动问题.1.如图,ABC ∆中,10==AC AB ,12=BC ,点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ,交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时,求AF 的长;(2)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时, AB CO 图8HCAB CDEOlA ′求BE 的长; (3)当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE 的长. [题型背景和区分度测量点]解:(1) 证明CDF ∆∽EBD ∆∴BECDBD CF =,代入数据得8=CF ,∴AF=2(2) 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用(1)的方法xCF 32=, 相切时分外切和内切两种情况考虑: 外切,xx 321010+-=,24=x ; 内切,xx 321010--=,17210±=x .100<<x Θ ∴当⊙C 和⊙A 相切时,BE 的长为24或17210-. (3)当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,320=BE . (二)线动问题在矩形ABCD 中,AB =3,点O 在对角线AC 上,直线l 过点O ,且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形ABCD 的对称中心A '重合,求BC 的长; (2)若直线l 与AB 相交于点F ,且AO =41AC ,设AD 的长为x ,五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式,并指出x 的取值范围; ②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.(1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B =AA ’=21AC∵AB =A ’B ,AB =3∴AC =6 33=BC(2)①92+=x AC ,9412+=x AO ,)9(1212+=x AF ,x x AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEFx x 96)9(22+=,x x x S 96)9(322+-=xx x S 968127024-+-= (333<<x )②若圆A 与直线l 相切,则941432+=-x x ,01=x (舍去),582=x ∵3582<=x ∴不存在这样的x ,使圆A 与直线l 相切.(三)面动问题如图,在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点(D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(1)试求ABC ∆的面积;(2)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =,ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4)当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长. 解:(1)12=∆ABC S .(2)令此时正方形的边长为a ,则446a a -=,解得512=a . (3)当20≤x π时, 22253656x x y =⎪⎭⎫⎝⎛=,当52ππx 时, ()2252452455456x x x x y -=-⋅=. (4)720,1125,73125=AD . 已知:在△ABC 中,AB =AC ,∠B =30º,BC =6,点D 在边BC 上,点E 在线段DC 上,DE =3,△DEF 是等边三角形,边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N . (1)求证:△BDM ∽△CEN ;(2)设BD =x ,△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.(3)当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ,使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在,请求出x 的值;如不存在,请说明理由.例1:已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径,点C 在⊙O 上变化(不与A 、B )重合,求∠ACB 的大小 .分析:点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢?可能在优弧AB 上,也可能在劣弧AB 上变化,显然这两者的结果不一样。