a?
a?
k?●
k?
V
b?
●
k?
a?
●
k?●
●
b?
b?
A
b?
a? K
b
X
B
O
b
a
k●
k
k●
a
Hb
a
34
⒊ 一般位置直线的 倾角和线段实长
线段实长、倾角、投影、坐标差之间的几何关系
V
b?
B
V
b?
B
a? X
ΔZ
O
?
A
b
a
H
a? X
β O
A
b
a
H
要记住这个图（随时能用两根杆模拟出来）
35
直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差.
铅垂面：? H ∠V、W 正垂面：? V ∠H、W 侧垂面：? W ∠V、H ●投影面平行面 水平面： ∥H 正平面：∥V 侧平面： ∥W
特 殊 位 置 平 面
62
⑴ 投影面平行面
V
V
W
W
H V
H
正平面 W
H 水平面
侧平面
63
水平面
a'
b' c' 屣 屡 屢
V
W
a
c
H
b 投影特性
在所平行的投影面上的投影 反映实形
a'
c'
g'
h'
b'
X
O
a
b
正平线
Z
a' b' a“
d' X
d
O
X
g
O h
c 侧平线
侧垂线
b' Z
c' b“
c“ a' b
O
水平线
d'
铅垂线 O
d“
一a 般位置直2线7
Z b'
c'h'
h
O
a'
a”
O
c d
g
侧平线
一般线
正垂线
Z b' a”
Z
c'
c”
a'
b”
O
一般线
d'
d”
正平线 O
a? ?
a?
?? A
b?
X
O
Y
X
O
a
b
a Y
b Y
18
侧平线
a?
Z
a?
b?
A
a?
X
b?
?
a
X
O
?
a
b?
B
b
Y b
Z
a?
?
?
b?
O
Y
Y
19
(3) 投影面垂直线 铅垂线 直线垂直于 H面，平行于 V、W面。 正垂线 直线垂直于 V面，平行于 H、W面。 侧垂线 直线垂直于 W面，平行于 H、V面。
c?
43
例：判断图中两条直线是否平行。
① b?
d?
a? c?
ac
②
b c?
d
a?
d? b? c
b
da
b? d?
a? c?
c? a?
b? d?
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
Hm
52
例: 已知AB//H、AB? CD，求cd
c'
ab? cd
a'
b'
d'
c
b
a
d
53
例:求两直线AB 、CD之间的距离。(≈习题P11. 3-17 )
bˊ cˊ
mˊ
nˊ
aˊ
dˊ mb
a
两交叉线间距离
c (d)(n)
56
点、直线习题
点 P6 —— 2、3
P7 —— 4、5
直线 P8
P9 —— 6⑴、7 P10 —— 9、10、12 P11 —— 13、15、16
W
α
A
a″
b
aH Y
11
● 直线的投影由两端点同名投影的连线确定
b'
屢
a'
b
a
正面投影看高低 水平投影看前后 侧面投影看前后
屡
根据直线两端点的相对 位置 判别AB的指向(方向)
13
2. 直线相对投影面的位置
(1) 一般位置直线
V
b′
Z b?
b?
?B
b″
?
W
a′
Z
a?
a?
Y?
A
X
a″ X
O
Y
b b a H
1?
1
1?d? c?1?
50
⒌ 一边平行于投影面的直角投影
A
B
a′
b′
C
c′
X
c
ab
a
H
若 AC⊥AB, AB∥H
c
则 ac⊥ab
O
b
直角投影规律： 空间两条相互垂直线之一，平 行于某投影面时,则在该面上的投影垂直。
51
上述结论亦实用于两直线交叉垂直
A
N a M
n m
a′
B
Xm a
b′ n
O
nb b
a
投影特性 ：三个投影均倾斜于投影轴， Y
均不反映实长、倾角.
14
(2) 投影面平行线 水平线 直线平行于 H面，倾斜于 V、W面。 正平线 直线平行于 V面，倾斜于 H、W面。 侧平线 直线平行于 W面，倾斜于 H、V面。
a? b? a? b?
a
b
a? a? a?
b?
b? b?
a
ba
b
a? b?
b'
g'
Xb
a
c'
屣
屡
屢
45°
c
屧
YW
g
YH
7
4 两点的相对位置及重影点
Z
Z
a?
a?
a?
b?
b?
A
a? X
X
O
B
b?
b?
O
Y
b a
b
Y
a
Y
正面投影看高低 水平投影看前后 侧面投影看前后 B点在A点的左后下方
8
重影点
a' Z 屡
b'
屢
c'(d')
層屣
X
a
O
Y
(b)
d
c
Y
点A在B的正上方，它们的水平投影重影，被挡者括住表示。
59
平面的迹线（与投影面的交线）表示法
V PV P
PH H
PV
X PH
V
用垂面的积聚投影(一条线)表示平面
Q X
H
QH
QH
60
平面的投影特性 —取决于平面与投影面的倾角
平面//P 反映实形
实形性
平面? P 积聚成直线
积聚性
P
平面 P 缩小且类似图形 类似性
61
⒉ 平面相对于投影面的位置
●一般位置平面 ●投影面垂直面
57
三 平面的投影
1. 平面的表示法及形式转换 ⒉ 平面相对于投影面的位置 ⒊ 平面内的点和直线
V
b′ Z
B
屢
a′
XA
b
a
H
W
a Cc
c
Y
58
1. 平面的表示法及形式转换
几何元素表示法
迹线表示法（了解）
b'
b'
b'
a'
a'
a'
c'
c'
c'
bc a
b'
bc
bc
a
a
b'
a'
a'
c'
c'
b c
bc
a
a
△Z α
ab
△Y
β
a'b'
△X
γ
a''b''
直角三角形中，三条边和一个倾角共四个参数，只要知 道任意两个，即可画出直角三角形，求得另两个参数。
36
例1：已知线段投影，求线段的实长和倾角α
分析：欲求α，只能借助直
V
b?
线与H面的几何关系。
B
b?
AB
a? X
ΔZ
O ?
A
b
a? X
?
b
a
H
直角三角形法
ΔZ
44
⑵ 两直线相交
V c?
b? k?
a?
d?
C A
K
B D
X
O
a
d
ck
b
H
c? k? a?
b? d?
a
d
ck
b
投影特性: 同名投影相交,
交点符合点的投影规律.
45
⑶ 两直线交叉
d' b'
1' (2' )
B
a' c'
2
D
X
A