诸暨市2019-2020学年第一学期期末考试试题高三数学注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页,满分150分,考试时间120分钟•2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂' 写在答题纸上.第I 卷(选择题部分 共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若{}{}1,0x x Q x x P <=>=,全集为R 则(▲)A.P Q ⊆B.Q P ⊆C.R Q C P ⊆D.R C P Q ⊆2. 双曲线2213y x -=的焦点坐标为(▲)A.()B.()2,0±C.(0,D.()0,2± 3.已知,a b 是实数,i 是虚数单位,a ibi a i-=+,则b 可取的值为(▲) A. 1 B. -1 C.1或-1 D.任意实数 4.已知公比为q 等比数列{}n a 的首项10a >,则“1q >”是“53a a >”的(▲)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 已知203a <<,随机变量ξ的分布列如右图：则当a 增大时,ξ的期望()E ξ变化情况是(▲)A.()E ξ增大B.()E ξ减小C.()E ξ先增后减D.()E ξ先减后增6.若函数()()2sin 06,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭图象的经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭,则要得到函数()2sin g x x ω=的图象,只需把()f x 的图象(▲)A.向左平移6π个单位 B.向左平移12π个单位 C.向右平移6π个单位 D .向右平移12π个单位 7.某几何体的正视图与侧视图如右图所示：则下列两个图形①②中,可能是其俯视图的是(▲) A.①②都可能 B.①可能,②不可能 C.①不可能,②可能 D.①②都不可能8.已知,0,1a b a b >+=,则12211a b +++的最小值是(▲) A.95 B.116 C.75D.2215+9.正四体A BCD -中,BCD 在平面α内,点E 在线段AC 上,2AE EC =, l 是平面α的垂线,在该四面体绕CD 旋转的过程中,直线BE 与l 所成角为θ,则sin θ的最小值是(▲)A.7 B.3C.22121 D .71410.已知函数()2f x x x b =-++的定义域为[0,1],值域包含于区间[0,1],且存在实数00102x y ≤<≤满足：()()00002,2f x y f y x ==,则实数b 的取值范围是(▲)A.30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.33,164⎛⎤⎥⎝⎦ D.31,164⎛⎤⎥⎝⎦第II 卷(非选择题部分 共110分)二、填空题：本题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.已知函数()221,1,1x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩,则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭▲；若()1f a =,则a = ▲ .12. 若二项式3nx x ⎛- ⎪⎝⎭展开式各项系数和为64,则n = ▲ ,常数项为 ▲ .13. 若实数,x y 满足约束条件24010x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩,则2x y +的最大值是 ▲ ；若01a <＜,且ax y +的最大值为3,则a= ▲ .14.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边,,,a b c 点D 为边AC 上的中点,已知5, 7, 8a b c ===则cosB = ▲ , BD = ▲ .15.用0,1,2,3,4组成没有重复数字的四位数,其中奇数有▲ 个. 16. 已知是不共线的两个向量,若对任意的,,m n R ∈a mb +r r,的最小值为1,()12n n a b -+r r的最小值为1,若,则所成角的余弦值= ▲ .17. 己知,A B 分别是椭圆2212x y +=的右顶点,上顶点,P 是椭圆在第三象限一段弧上的点, PA 交y 轴与M 点,PB 交x 轴于N 点,若MN AB P ,则P 点坐标为 ▲ .三、 解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)己知函数()22sin cos 23sin 3f x x x x =-+(1) 求函数.()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； (2) 设10,,2213f πααπ⎛⎫⎛⎫∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求sin α的值.19.(本题满分15分)已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD , 2PA PD AD ===、点,E F 分别为,PD AB ,的中点.(1)求证：AE P 平面PFC⑵若CF 与平面PCD 所成角的正弦值等于64.求AB 长.20.(本题满分15分)数列{}n a 是公比为正数的等比数列,1232,12a a a =+=；数列{}n b 前n 项和n S ,满足()()23,12n n nb S b n N *==+∈ (1)求13,b b 及数列{}n a ,{}n b 的通项公式； (2)求112233n n a b a b a b a b +++⋅⋅⋅+.21.(本题满分15分)过抛物线2:4C x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于, A B 两点,以A ,B 两点为切点作抛物线的切线,两条切线交于P 点.(1)当直线l 平行于x 轴时,求点P 的坐标； (2)当2PA PB=时,求直线l 的方程.22.(本题满分15分)己知函数()11114x x f x ee ax a ++⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,其中 2.718e =…是自然对 数的底数,()()'g x f x =是函数()f x 的导函数. (1)若()g x 是R 上的单调函数,求a 的值； (2)当78a =时,求证：若12x x ≠,且122x x +=-,则()()122f x f x +>诸暨市2019--2020学年第一学期期末考试高三数学参考答案一、 选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．A 10．D 二、 填空题(本题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分．) 11． 4,01或12． 6, 135 13． 5,1414. 1,22 15．36 16 17．1,2⎛-- ⎝⎭三、解答题(本大题共5小题,共74分．)18. 解：(1)()sin 2f x x x =+ ……2′ 2sin(2)3x π=+ ……2′当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,42333x πππ≤+≤ ……1′所以,此时()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦ ……2′(2)因为10()2sin()2313f απα=+=,所以5sin()313πα+= ……1′54633πππα<+<,所以12cos()313πα+=- ……2′ sin sin ()sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα⎡⎤=+-=+-+⎢⎥⎣⎦ ……1+2′526+=……1′ 19. 解：(1)证明：取PC 中点G ,连,EG FG , 则1////,2EG DC AF EG DC AF == ……3′所以AEGF 是平行四边形,//AE FG从而//AE 平面AFC ……3′(2)法一：因为//AF 平面PDC ,所以点,A F 到平面PDC 的距离相等,……1′ 由,CD AD PAD ABCD ⊥⊥知CD AE ⊥由E 是PD 中点,AE PD ⊥得AE ⊥平面PDC ……4′设2AB a =,则所求线面角的正弦值2AE a CF ====,4AB = ……4′ 法二：取AD 中点H ,以H 为原点建立空间坐标系,设2AB a =,则(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(1,,0)A C a D P F a -- ……2′求得平面PDC的法向量为3,0,2EA ⎛ ⎝⎭……4′所求线面角的正弦值为cos ,2EA CF a ===u u u r u u u r所以4AB = ……3′20.(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则21112,2,2n n a q a q q a +=== ……3′ 131,5b b == ……2′ 法一：猜想21()n b n n N *=-∈,用数学归纳法证明 ……1′ 当1n =时成立,假设当n k =时结论成立,则由 ……1′ (1),2k k k S b =+211111(1)2k k k k k k S b S b k b +++++=+=+=+ 211(1)21,212(1)1k k k b k k b k k ++-=--=+=+-即1n k =+时结论也成立,综上21n b n =- ……2′ 法二：(1),2n n n S b =+111(1)2n n n S b +++=+得 1(1)1n n n b nb +-=- ……2′ 同理1(2)(1)1n n n b n b --=-- 两式相减整理得112n n n b b b +-+=所以数列{}n b 是公差为2的等差数列,21n b n =- ……2′（2）设211223321232(21)n n n n T a b a b a b a b n =++++=⋅+⋅++⋅-L L231221232(23)2(21)n n n T n n +=⋅+⋅++⋅-+⋅-L ……1′ 1232(21)2(222)2n n n T n +=--+++-L ……3′12(23)6n n +=-+ ……2′ 21. 解：(1) (0,1)F , (2,1),(2,1)A B -……2′切线方程为221(2),1(2)22y x y x --=--=+即10x y --=与10x y ++= ……2′ 所以(0,1)P - ……1′（2）设l 的方程为1y kx =+,1122(,),(,)A x y B x y ……1′ 则21212440,4,4x kx x x x x k --==-+= ……1′直线PA 方程为111()2x y y x x -=-,即 21124x x y x =-直线PB 方程为22224x x y x =- ……2′联立解得12(,1)2x x P +- ……2′ 法一：22212122122122222121212221()()()(1)444()()()(1)44x x x x x x y x x x x x x x y x ---+++==---+++ ……2′ 221212412,4,1x x x x =+==- 或 124,1x x =-= 直线l 的方程为314y x =±+ ……2′法二：设直线PA 的斜率为1k ,则121PA x x =-=-类似可得PB = ……2′所以1122,4,1k x x =±=±=m……1′ 直线l 的方程为314y x =±+ ……1′22.解：(1)111()()(1)2x x g x f x e e ax ++'==-- ……2′11()(1)x x g x e e ax a ++'=--- ……1′ 由题意1()10x G x e ax a +=---≥恒成立 ……1′ 由于(1)0G -=,所以(1)0G '-=,解得1a =(不验证不扣分) ……2′(2)1111171173()()((1))488484x x x x f x e e x e e x ++++=--=-++令121,0,x t t t +=+=,不妨设210t x =+>,173()()484t t h t e e t =-+令 173173()()()()()484484t t t t H t h t h t e e t e e t --=+-=-++++ ,原题即证明当0t >时,()2H t > ……2′171171()()()288288t t t t H t e e t e e t --'=---+- ……1′171()()()()288t t t t t t t t e e e e t e e e e ----=+--+--711()()()()208216t t t t t t t te e e e t e e e e ----⎡⎤⎡⎤=+--+-+-≥⎣⎦⎢⎥⎣⎦……5′ 其中11()()1022t tt t e e t e e --'⎡⎤--=+-≥⎢⎥⎣⎦因为(0)2H =,所以当0t >时,()2H t > ,得证 ……1′。