高一兴趣导数大题目专项训练班级 姓名1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈-），求证：当1a =-时，1|()|()2f xg x >+；2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2ln x e x ϕ=（其中e 为自然对数的底数）．(1)求()()()F x h x x ϕ=-的极值；(2) 函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．3. 设关于x 的方程012=--mx x 有两个实根α、β，且βα<。

定义函数.12)(2+-=x mx x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),(),(βμλμβλααf f f ++的大小；②证明.|||)()(|βαμλλβμαμλμβλα-<++-++f f4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值.（I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -<21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由．5．若函数()()2ln ,f x x g x x x==-（1）求函数()()()()x g x kf x k R ϕ=+∈的单调区间；（2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.6、已知函数.23)32ln()(2x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值；（II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围； （III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围7.已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（Ⅲ）解不等式ln 1ln 21⎛+-≤- ⎝．8.已知函数21()ln 2f x x x =+. （1）求函数()f x 在[1,e]上的最大值、最小值；（2）求证：在区间[1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方； （3）求证：[()]()nnf x f x ''-≥22(nn -∈N *）.9.已知函数)0()(,ln )(<==a xax g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。

（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；（Ⅱ）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)12(2-++=m x a g y 的图象与)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。

10.已知函数21()2,()log 2a f x x x g x x ==－（a ＞0，且a ≠1），其中为常数．如果()()()h x f x g x =+ 是增函数，且()h x '存在零点（()h x '为()h x 的导函数）． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1<x 2）是函数y ＝g （x ）的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-（()g'x 为()g x 的导函数），证明：102x x x <<．参考答案1．解：（Ⅰ）当[,0)x e ∈-时，(0,]x e -∈，故有()ln()f x ax x -=-+-，由此及()f x 是奇函数得()ln()()ln()f x ax x f x ax x -=-+-⇒=--，因此，函数()f x 的解析式为ln()(0)()ln (0)ax x e x f x ax xx e ---≤<⎧=⎨+<≤⎩；（Ⅱ）当[,0)x e ∈-时，11()ln()()ax f x ax x f x a x x-'=--⇒=-=： ①若10a e-≤<，则11111()0f x a x e x e e'=-≥--≥-+=⇒()f x 在区间[,0)e -上是增函数，故此时函数()f x 在区间[,0)e -上最小值为()()ln 3f e a e e -=--=，得4a e=-，不符合10a e -≤<，舍去。

②若1a e <-，则令1()0(,0)f x x e a '=⇒=∈-，且()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，而在区间1,0a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，故当1x a =时，min 11[()]1ln f x f a a ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令21131ln 3f a e a a ⎛⎫⎛⎫=⇒--=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．综上所述，当2a e =-时，函数()f x 在区间[,0)e -上的最小值是3．（Ⅲ）证明：令1()|()|()2F x f x g x =--。

当0x e <≤时，注意到ln x x >（设h(x)=x-lnx ，利用导数求h(x)在0x e <≤的最小值为1，从而证得x-lnx >1），故有ln 1ln 1()|ln |ln 22x x F x x x x x x x =---=---．①当02x <<时，注意到1ln x x -≥，故1111112()1ln 1(1)02222x F x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+->-+--=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当2x e ≤≤时，有222211ln 1ln 421ln 2()10x x x x F x x x x x---+--+'=--=≥>，故函数()F x 在区间[2,]e 上是增函数，从而有ln 213()2ln 2(1ln 2)0222F x ≥---=->。

因此，当0x e <≤时，有1|()|()2f xg x >+。

又因为()F x 是偶函数，故当0e x -≤<时，同样有()0F x >，即1|()|()2f xg x >+．综上所述，当1a =-时，有1|()|()2f xg x >+；2. 【解】(Ⅰ)()()()F x h x x ϕ=-=22ln (0)x e x x ->，2()2e F x x x '∴=-= 当x =()0F x '=．当0x <<()0F x '<，此时函数()F x 递减；当x >()0F x '>，此时函数()F x 递增；∴当x =()F x 取极小值，其极小值为0．(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =处有公共点，因此若存在)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点． 设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为)(e x k e y -=-，即e k e kx y -+=． 由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥，可得02≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立．2)2(e k -=∆ ，∴由0≤∆，得e k 2=． 下面证明e x e x -≤2)(ϕ当0>x 时恒成立．令()()G x x e ϕ=-+e x e x e +-=2ln 2，则2()e G x x '=-=， 当x =()0G x '=．当0x <<()0G x '>，此时函数()G x 递增；当x >()0G x '<，此时函数()G x 递减；∴当x =()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2ln 0G x e x e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ϕ恒成立．∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线y e =-．解法二： 由(Ⅰ)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且当x =) ．……7分若存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，令x =e b ≥+且e b ≤+b e ∴=，即e k e b -=． 后面解题步骤同解法一．3. （I ）解：01,2=--mx x 是方程βα 的两个实根，⎩⎨⎧-=⋅=+∴.1,βαβαm .1)()(212)(22αβααβααβαβααααα=--=-+-=+-=∴m f .1)(=∴ααf…………3分（II ）12)(2+-=x mx x f ， .)1()1(2)1(2)2()1(2)(22222+---=+⋅--+='∴x mx x x x m x x x f…………4分当.0))((1,),(2<--=--∈βαβαx x mx x x 时 …………5分而0)(>'x f ，),()(βα在x f ∴上为增函数。

…………7分（III ）①βαμλ<>>且,0,0..0)()(,0)()(βμλμβλααμλβαλμλβμλμβλαβμλμβλαμλαβμμλαμλμβλααμλμβλα<++<∴<+-=++-+=-++>+-=++-+=-++∴…………9分由（II ），可知).()()(βμλμβλααf f f <++<…………10分②同理，可得).()()(βμλλβμααf f f <++<).()()()()()(αβμλλβμαμλμβλαβαf f f f f f -<++-++<-∴.|)()(||)()(|βαμλλβμαμλμβλαf f f f -<++-++∴…………12分又由（I ），知.1,1)(,1)(-===αβββααf f.|||||11||)()(|βααβαββαβα-=-=-=-∴f f 所以.|||)()(|βαμλλβμαμλμβλα-<++-++f f…………14分4. 解：（I ）22()[(2)]x f x x a x a b e -'=++++，由条件得：(1)0f '=.230a b ∴++=，32b a ∴=--.（1分）22()[(2)3]0x f x x a x a e -'=++-->得：(1)[(3)]0x x a ---->.当4a =-时，1x =不是极值点，4a ∴≠-. （2分） 当4a >-时，得1x >或3x a <--；当4a <-时，得3x a >--或1x <. （4分） 综上得：当4a >-时，()f x 的单调递增区间为(,3)a -∞--及(1,)+∞ 单调递减区间为(3,1)a --. （5分） 当4a <-时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞及(3,)a --+∞ 单调递减区间为(1,3)a --. （6分） （II ）(0,1)a ∈时，由(I)知()f x 在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增. ∴当[0,2]x ∈时，11min ()(1)(1)(2)f x f a b e a e --==++=--. 又2(0)(32)f a e -=--，(2)421f a b =++=，则(2)(0)f f >.∴当[0,2]x ∈时，1()[(2),1]f x a e -∈--.（8分）∴由条件有：2112max min max [(2)]1()()()()m a m e f x f x f x f x -+++>-=-11(2)a e -=++.2(2)2m a m a ++>+.即2(1)20m a m ++->对(0,1)a ∈恒成立.令2()(1)2g a m a m =++-，则有：22(0)20.(10)(1)10g m g m m ⎧=-≥⎪⎨=+-≥⎪⎩分解得：m 或m （14分）5. 【解】:(1)由题意知:()x ϕ的定义域为()0,+∞,()222x kx x x ϕ++'=令()22p x x kx =++28k ∆=-当280k ∆=-≤时,即k -≤≤,()0x ϕ'≥当280k ∆=->时,即k k ><-方程220x kx ++=有两个不等实根, 12x x ==若k >120x x <<,则在()0,+∞上()0x ϕ'>若k <-则120x x <<,()()()()()()11220,,0,,,0,,,0x x x x x x x x x x ϕϕϕ'''∈>∈<∈+∞>当当当所以:综上可得:当k <-时, ()x ϕ的单调递增区间为0,,22k k ⎛⎛⎫--+∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,单调递减区间为,22k k ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭;当k >()x ϕ的单调递增区间为()0,+∞(2)解法一：因为[),x e ∈+∞，所以ln ln 1x xx x ax a a x ≥-⇔≤- 令()[)ln ,,1x x h x x e x =∈+∞-，则()()2ln 11x x h x x --'=- 当[),x e ∈+∞时，()1ln 110x x x'--=->，故ln 1ln 120x x e e e --≥--=-> 所以：()()()()2min ln 1011x x e h x h x h e e x --'=>∴==-- 1e a e ∴≤- 解法二：()ln 0xf x ax a x x ax a ≥-⇔-+≥ 令()ln h x x x ax a =-+ 当[),x e ∈+∞时()min 0h x ≥()()1ln 1,0a h x x a h x x e -''=+-==由得：()()()()110,,0,,,0a a x e h x x e h x --''∈<∈+∞>当时当时所以()h x ()10,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞单调递增①当2a ≤时，()1,a e e h x -≤在[),x e ∈+∞上单调递增，()()min 0h x h e e ae a ==-+≥1e a e ∴≤- ②当2a >时，()0h e e a ae ≥⇒+≥若2a e <<，则2e a e ae +<<；若a e ≥，则2e a a ae +≤< 故2a >不成立， 综上所得：1e a e ≤- 6.解：（I ）23)13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f ， 令1310)(-==='x x x f 或得（舍去）)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131x f x f x <'≤<时单调递减. ]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值（II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得xx a x x a 323lnln 323lnln ++<+->或， …………① 设332ln 323ln ln )(2x x x x x h +=+-=，xxx x x g 323ln323ln ln )(+=++=， 依题意知]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，0)32(2)32(33)32(3332)(2>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g ， 03262)62(31323)(22>++=+⋅+='x x xx x x x h ，]31,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，当且仅当.51ln 31ln),61()31(<><>a a g a h a 或即或 （III ）由.0223)32ln(2)(2=-+-+⇒+-=b x x x b x x f令xx x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(22+-=+-+='-+-+=ϕϕ则，当]37,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增； 当]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减 而)1()37(),0()37(ϕϕϕϕ>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()37(02ln )0(b b b ϕϕϕ .37267)72ln(215ln +-+<≤+∴b 7. 解：（1）()1a a b axf x ax b ax b--'=-=++. 0,0,0x a b >>≥, ()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b ≤.当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>--≥≤, 即()0f x '≤.()f x ∴在[0,)+∞上是减函数的充要条件为b a ≥. ………（4分） （2）由（1）知，当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；当b a <时，()a b ax f x ax b --'=+，∴当0a b x a -<≤时，()0f x '>，当a bx a->时()0f x '<，即在[0,)a b a -上()f x 是增函数，在[,)a b a -+∞上()f x 是减函数，a bx a-=时()f x 取最大值，最大值为max ()()ln a b a b f x f a a a --==-， 即max ln (),()ln ().b b a f x a ba b a a ⎧⎪=⎨--<⎪⎩≥ ……（13分）（3）在（1）中取1a b ==，即()ln(1)f x x x =+-, 由（1）知()f x 在[0,)+∞上是减函数.ln(1ln 21x +-，即(1)f f ≤，1x <或x .故所求不等式的解集为15[,)2++∞ ……………（8分） 8.解：（1）∵f ' (x )=1x x +∴当x ∈[1,e]时，f ' (x )>0， ∴()f x 在[1,e]上是增函数 故min 1()(1)2f x f ==，2max 1()(e)e 12f x f ==+. ……………………4分（2）设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=，∵1x >时，∴()0F x '<，故()F x 在[1,)+∞上是减函数.又1(1)06F =-<，故在[1,)+∞上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<，∴函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方. ……………………8分（3）∵x >0，∴11[()]()nnnn n f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫''-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1n =时，不等式显然成立；当n ≥2时，有1122121111[()]()n n n n n n n n n f x f x C x C x C x x xx ----''-=⋅+⋅++⋅1224121224122421101111[()()()]2n n n n n nn n n n n n n n n n n C x C x C xC x C x C x x x x -----------=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++++++分≥()1-n n 2n 1n 2C 2C 2C 21+++ 22n -= ∴[()]()n n f x f x ''-≥22(nn -∈N *）9解.(Ⅰ) F 0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('22>-=-=x xax x a x x F ）上单调递增。