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2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

2015年湖北省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
607
2.(5分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内
×
3.(5分)(2015•湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇
的展开式中奇数项的二项式系数和为:
4.(5分)(2015•湖北)设X~N(μ1,ς12),Y~N(μ2,ς22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()
5.(5分)(2015•湖北)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:
2222222
成等比数列,即有==
6.(5分)(2015•湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)


7.(5分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,
P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则()
,,
=
×=1=,
×+dx=+lnx|=﹣ln=+
8.(5分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时
=
∴﹣,
9.(5分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为()
10.(5分)(2015•湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,2n
[,
二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
11.(5分)(2015•湖北)已知向量⊥,||=3,则•=9.
⊥,得•=0•(
∵|

12.(5分)(2015•湖北)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数
为2.
2cos﹣
=2sinx﹣
13.(5分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=100m.
h
=,
h=100

14.(5分)(2015•湖北)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.
(1)圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2;
(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:
①=;②﹣=2;③+=2.
其中正确结论的序号是①②③.(写出所有正确结论的序号)
,计算出、、的值即可.




﹣+1
∴==
同理可得=
∴=
﹣﹣(
+(
选修4-1:几何证明选讲
15.(5分)(2015•湖北)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,
则=.
∴=
故答案为:.
选修4-4:坐标系与参数方程
16.(2015•湖北)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为(t为参数),
l与C相交于A,B两点,则|AB|=.
,得,即


故答案为:
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(11分)(2015•湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)
2
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.
.从而可补全数据,解得函数表

)=k.令

.数据补全如下表:
2

))
=k x=
)的图象关于点()成中心对称,令=

18.(12分)(2015•湖北)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式
(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.
,写出、
,由题意可得
,或

=
•••
∴+3+5+7+•
∴+++﹣

19.(12分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ABCD
中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.
(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;
(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.
,所以
,所以
FDB=
tan=tan DPF==,解得
==
时,=
=
,,,,)
=,=0
,所以=
=
所成二面角的大小为
=,
.所以所以=
时,=
20.(12分)(2015•湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:
Z(单位:元)是一个随机变量.
(1)求Z的分布列和均值;
(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.
变形为:
21.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON 可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程;
(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
其方程为.
=
k
(,,)
|PQ|=
=|PQ|d=|m||x|m|||=|
=||=8|
时,
<(
时,∴
1+
22.(14分)(2015•湖北)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n(1+)n a n(n∈N+),e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)=1+x﹣e x的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;
(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n),数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<eS n.
x=
1+变形求得,,由此推测
的定义、
,利用放缩法证得
,得,即.①
解:;
由此推测:
成立,即
,由归纳假设可得

21。

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