数列单元测试题令狐文艳命题人：张晓光一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S33－S22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a5a3B.S5S3C.an ＋1anD.Sn ＋1Sn3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－24．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.155．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且An Bn ＝7n ＋45n ＋3，则使得an bn为正偶数时，n 的值可以是( )A ．1B ．2C ．5D ．3或116．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为( ) A.1－52 B.5＋12 C.5－12 D.5＋12或5－127．已知数列{a n }为等差数列，若a11a10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．218．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π89．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( )A ．1004B ．1005C ．1006D ．100710．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A ．50项B ．34项C ．6项D ．5项二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1an，a 1＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n (n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．13．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，1 2a3,2a2成等差数列，则a3＋a10a1＋a8＝________.14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c15n1n n＋1－(2n＋1)x＋1bn＝0的两个根，则数列{b n}的前n项和S n＝________．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的前n 项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R)，n∈N*.(1)求q的值；(2)若a3＝8，数列{b n}满足a n＝4log2b n，求数列{b n}的前n项和．17．(本小题满分12分)等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求a n与b n；(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn的值．18．(本小题满分12分)已知数列{b n}前n项和为S n，且b1＝1，b n＋1＝13S n.(1)求b2，b3，b4的值；(2)求{b n}的通项公式；(3)求b2＋b4＋b6＋…＋b2n的值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝m x(m为常数，m>0且m≠1)．设f(a1)，f(a2)，…，f(a n)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列．(1)求证：数列{a n}是等差数列；(2)若b n＝a n f(a n)，且数列{b n}的前n项和为S n，当m＝2时，求S n；(3)若c n＝f(a n)lg f(a n)，问是否存在m，使得数列{c n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分13分)将函数f(x)＝sin 1 4x·sin 14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部最值点按从小到大的顺序排成数列{a n}(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的表达式．21．(本小题满分14分)数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn 3n ＋1，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝anbn 4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .数列单元测试题命题人：张晓光一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S33－S22＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12B ．1C ．2D ．3 [答案]C[解析]设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d ， ∴{Sn n }是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S33－S22＝1，∴d 2＝1，∴d ＝2. 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a5a3B.S5S3C.an ＋1anD.Sn ＋1Sn[答案]D[解析]等比数列{a n }满足8a 2＋a 5＝0，即a 2(8＋q 3)＝0，∴q ＝－2，∴a5a3＝q 2＝4，an ＋1an＝q ＝－2，S5S3＝a11－q 51－q a 11－q 31－q＝1－q51－q3＝113，都是确定的数值，但Sn ＋1Sn ＝1－qn ＋11－qn的值随n 的变化而变化，故选D.3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－2[答案]C[解析]∵a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，∴a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2，a 5＝0，…，即a 2k －1＝0，a 2k ＝2，∴a 2011＝0.4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15[答案]A[分析]根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n 的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析]由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且An Bn ＝7n ＋45n ＋3，则使得an bn为正偶数时，n 的值可以是( )A ．1B ．2C ．5D ．3或11[答案]D[解析]∵{a n }与{b n }为等差数列，∴an bn＝2an 2bn ＝a1＋a2n －1b1＋b2n －1＝A2n －1B2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，将选项代入检验知选D. 6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为( ) A.1－52 B.5＋12 C.5－12 D.5＋12或5－12[答案]C[解析]∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋12. ∴a3＋a4a4＋a5＝1q ＝5－12，故选C. 7．已知数列{a n }为等差数列，若a11a10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21[答案]B[解析]∵S n 有最大值，∴a 1>0，d <0，∵a11a10<－1， ∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0，∴S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0， 又S 19＝19a 1＋a 192＝19a 10>0，故选B. 8．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π8解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋n －1＝29n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1n 2＝(－1)n n －122－n2＋19n2，∴当 n ＝9时，Πn 最大．故选C9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( )A ．1004B ．1005C ．1006D ．1007[答案]C[解析]由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝13a1＋3×22d ＝a1＋4d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝1d ＝2，∵a m ＝a 1＋(m －1)d ＝1＋2(m －1)＝2m －1＝2011，∴m ＝1006，故选C.10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前100项中与数列{b n}中相同的项有( )A．50项B．34项C．6项D．5项[答案]D[解析]a1＝2＝b1，a2＝8＝b3，a3＝14，a4＝20，a5＝26，a6＝32＝b5，又b10＝210＝1024>a100，b9＝512，令6n－4＝512，则n＝86，∴a86＝b9，b8＝256，令6n－4＝256，∵n∈Z，∴无解，b7＝128，令6n－4＝128，则n＝22，∴a22＝b7，b6＝64＝6n－4无解，综上知，数列{a n}的前100项中与{b n}相同的项有5项．二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．已知数列{a n}满足：a n＋1＝1－1an，a1＝2，记数列{a n}的前n项之积为P n，则P2011＝________.[答案]2[解析]a1＝2，a2＝1－12＝12，a3＝1－2＝－1，a4＝1－(－1)＝2，∴{a n}的周期为3，且a1a2a3＝－1，∴P2011＝(a1a2a3)670·a2011＝(－1)670·a1＝2. 12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n (n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案]255[解析]∵a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N*)，∴n 为奇数时，a n＋2＝a n，n为偶数时，a n＋2－a n＝2，即数列{a n}的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人． 13．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a3＋a10a1＋a8＝________. [答案]3－22[解析]∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，设数列{a n }公比为q ，则a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∵a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝－1±2，∵a n >0，∴q ＝2－1，∴a3＋a10a1＋a8＝q 2＝3－2 2. 14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a ＋b ＋c[[解析]由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q ＝2，∴b ＝2×2＝4由横行等差知c 下边为4＋62＝5，故c ＝5×2＝10，由纵列公比为2知a ＝1×23＝8，∴a ＋b ＋c ＝22.15．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1bn＝0的两个根，则数列{b n }的前n项和S n＝________．[答案]nn＋1[解析]由题意得a n＋a n＋1＝2n＋1，又∵a n－n＝－[a n＋1－(n＋1)]，a1＝1∴a n＝n，又a n·a n＋1＝1bn，∴b n＝1 n n＋1.∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝1－1n＋1＝.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R)，n∈N*.(1)求q的值；(2)若a3＝8，数列{b n}满足a n＝4log2b n，求数列{b n}的前n项和．[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝p－2＋q，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝pn2－2n＋q－p(n－1)2＋2(n－1)－q＝2pn－p－2∵{a n}是等差数列，∴p－2＋q＝2p－q－2，∴q＝0.(2)∵a3＝8，a3＝6p－p－2，∴6p－p－2＝8，∴p＝2，∴a n＝4n－4，又a n＝4log2b n，得b n＝2n－1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以数列{b n}的前n项和T n＝1－2n1－2＝2n－1.17．(本小题满分12分)等差数列{a n}的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ；(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn的值．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S2b2＝6＋dq ＝64S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65q ＝403(舍去)，故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S1＋1S2＋…＋1Sn ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2.18．(本小题满分12分)已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n .(1)求b 2，b 3，b 4的值；(2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．[解析](1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627. (2)⎩⎪⎨⎪⎧bn ＋1＝13Sn ①bn ＝13Sn －1②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ，∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43n －2(n ≥2)∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＝113·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43n －2n ≥2.(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫432的等比数列，∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－432n ]1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫432＝37[(43)2n－1]． 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝m x(m 为常数，m >0且m ≠1)．设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)由题意f (a n )＝m 2·m n －1，即ma n ＝m n＋1.∴a n ＝n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1①①式两端同乘以2得，2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2②②－①并整理得，S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－221－2n1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg mn ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立，①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立；②当0<m <1时，lg m <0，所以n ＋1n ＋2>m 对一切n∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23.综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．20．(本小题满分13分)将函数f (x )＝sin14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2na n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．[解析](1)化简f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)＝sin x 4cos x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos x 2＝－14sin x其极值点为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π2为首项，π为公差的等差数列，a n ＝π2＋(n －1)·π＝2n －12π(n ∈N *)．(2)b n ＝2n a n ＝π2(2n －1)·2n∴T n ＝π2[1·2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n]2T n ＝π2[1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n＋(2n －1)·2n ＋1]相减得，－T n ＝π2[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1]∴T n ＝π[(2n －3)·2n＋3]．21．(本小题满分14分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n ＋1，求数列{b n }的通项公式；(3)令c n ＝anbn 4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析](1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)a n ＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n ＋1(n ≥1)①∴a n ＋1＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn3n ＋1＋bn ＋13n ＋1＋1②②－①得，bn ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．(3)c n ＝anbn 4＝n (3n ＋1)＝n ·3n＋n ，∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n)＋(1＋2＋…＋n )令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n，①则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1②①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝31－3n1－3－n ×3n ＋1∴H n ＝2n －1×3n ＋1＋34，∴数列{c n }的前n 项和T n ＝2n －1×3n ＋1＋34＋n n ＋12.。