几何结构之折叠、旋转（讲义）➢ 知识点睛1. 折叠（轴对称）的思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等） （3）常见组合搭配①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形；B A 1FED (B )CA②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等．GFE D CBAONM FE CBA D BOA C P Q B'C'（4）应用，作图（构造）核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形． 特征举例：①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． 2. 旋转思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与旋转中心旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）； 对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角； 对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心； 旋转会产生圆（圆弧）． （3）常见组合搭配旋转会出现相似的等腰三角形；旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形；60°C'B'CBAC'B'CBA相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型．（4）应用，作图（构造）当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形） 注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素；旋转方向不确定需要分类讨论；常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时 只需保留研究目标即可）➢ 精讲精练1. 小明用不同的方式来折叠一个边长为8的正方形纸片ABCD ，折痕MN 分别与边AD ，BC 交于点M ，N ，沿MN 将四边形ABNM 折叠，点A ，B 的对应点分别为点A′，B′．他得到了以下结论：①如图1，当点B′落在DC 的中点处时，BN =5．②如图2，当点B′落在CD 上时，延长NB′交AD 的延长线于点E ，△NEM 为等腰三角形．③如图2，当点B′落在CD 上时，连接BB′，此时BB′=MN ，BB′⊥MN ．④如图3，先将正方形沿MN 对折，使AB 与DC 重合，再将AB 沿过点A 的直线折叠，使点B′落在MN 上，则∠MAB′=60°．其中正确结论的序号是______________．ABCD MNB'A'DCBA B'MA'N图1 图2DCBANMB'图32. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE =∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处．若AC =8，AB =10，则CD 的长为______．FEDCBA3. 如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB=AD =10，点E 是CD 的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME ，NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落在B′处，折痕为HG ，连接HE ，则tan ∠EHG =_______．ABC D EG HM NB'N M ED CB AC图1图2图34. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A′处，若EA′的延长线恰好过C ，则 sin ∠ABE 的值为_______．DC BAEA′D'A'F E D C BA第4题图第5题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB =BC =15，点E 是AD 边上一点，连接BE ，把△ABE 沿BE 折叠，使点A 落在点A′处，点F 是CD 边上一点，连接EF ，把△DEF 沿EF 折叠，使点D 落在直线E A′上的点D′处，当点D′落在BC 边上时，AE 的长为____________．6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，AC =3，点F 在边AC 上，且AF =1，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则当点P 落在线段AB 上时，线段PB 的长为______________．PFEC B A 7. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tan C =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（） A ．13B ．152C ．272D ．12CB ACB A8. 在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点P 在线段AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的A′处，则AP 的长为_____________．DCBADCBA9. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8 cm ，BC =20 cm ，O 是BC 的中点，沿过O的直线翻折．若点B 恰好落在AD 上，那么折痕的长度为________．DADA10.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明．（2）若AB=AD，以过点P的直线为对称轴，将四边形ABCD折叠，使点B，C分别落在点B′，C′处，且线段B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）．②如果∠C=60°，那么APPB为何值时，B′P⊥AB．图1 图211.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC．D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD．过点C作CD的垂线，点E是该垂线上一点，且满足△ACE≌△BCD，连接DE，DE与AC相交于点F．下列结论：①△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE；②若BC=2，则(C四边形ADCE)min=；③若∠BCD=25°，则∠AED=65°；④DE2=2CF·CA；⑤若AB=AD=2BD，则AF=53．其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）．FAB DEEDBA第11题图第12题图12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．若AB=3，BC=4，则BD=__________．13.如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE．上述结论中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．314.如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A，C分别落在点A′，C′处，如果点A′，C′，B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为__________．DAC B DACB15. 如图，△ABC ，△BDE 都是等腰直角三角形，BA =BC ，BD =BE ，AC =4，DE=BDE 绕点B 逆时针方向旋转α（0°＜ α＜360°），连接AD ，CE ，记直线AD ，CE 的交点为P ．（1）以下结论中：①△ABD ≌△CBE ；②∠APC =90°；③点P 始终在以AC 为直径的圆上运动．其中正确的是_______．（2）当点E 恰好落在线段AD 上时，①画出对应图形；②此时AD =___________．ED C B A AB C16. 一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为________．EDC B A【参考答案】1. ①②③④2. 2583.4.5. 26.7. A8. 32或949. 或10. （1）四边形ABCD 为平行四边形，理由略；（2）①图略；②当AP PB =时，B′P ⊥AB ． 11. ①②③④ 12. 5 13. C14.15. （1）①②③（216. 60°或15°几何结构之折叠、旋转（随堂测试）1. 如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM ，PN 分别与OA ，OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM ，PN 分别交AB ，BC 于E ，F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论：①EF ；②S 四边形OEBF :S 正方形ABCD =1:4；③BE +BF OA ；④在旋转过程中，设BE =x ，则S △BEF +S △COF =212x x -+；⑤OB ·OG =12(AE 2+CF 2)．其中正确的是__________（填正确结论的序号）． OF E DCBAMN(P )G2. 如图，正方形ABCD 的边长是9，点F 是CD 边上一点，CF =4，点E 是AB边上的一个动点．将正方形沿EF 折叠，则当点D 的对应点D ′落在线段BC 上时，线段AE 的长为_________．F DA【参考答案】1.①②③⑤2. 211。