第1步、列举所有相关的物理量。
Δp，u，d，ε，ρ，μ，l，共7个
第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为 重复量，取3个）。
选ρ 、u 、d 第3步、列П表达式求解П数
① П1=ρa u bd cΔp M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
惯性矩，惯性积 动量，动量矩 能量，功，热 功率 表面张力系数 比热 导热系数 （比）熵 （比）焓，内能 注： 为温度量纲
dim Ix dim Ixy L4 dim I MLT 1
dim L ML2T 1
dim E dim W dim Q ML2T 2
dim P ML2T 3
dim MT 2
Π定理
充要条件 方法
n个物理量
r个独立
基本量
选r个独立
基本量
n-r个导出量
x1 =φ(x 2，x 3, ……, x r ) П1 =f (П2, П3, ……, Пn-r )
组成n-r个
独立Π数
量纲分析方法等
第五节 量纲分析与相似原理
5.4.2 量纲分析法 不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管恒定流动，分析 压强降低与相关物理量的关系。 一般步骤：
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲 量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
工程单位制
大小
单位制
国际单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
量纲分析概念
一个方程中多项量纲必须齐次； 一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以 按量纲齐次性原理作分析。
类比：角色分析
第五节 量纲分析与相似原理
5.4.1 П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的 是布金汉（E.Buckingham,1914):
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
M : a 1 0
L
:
3a b c 1 0
T : b 1 0
解得： a = -1 , b = -2 , c = 0
П1=ρa u bd cΔp
1
P
1 u 2
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
1. Re 数(雷诺数)
Re
ul
惯性力 粘性力
ma
Adu / dy
圆管流动
u 平均流速
l
管直径
钝体绕流 平板边界层
Re 1 Rer 2300
Re 1
来流速度
截面宽度
外流速度
距前缘距离
低雷诺数粘性流动
区分粘性流动层流与湍流态 边界层外无粘流
dim cp dim cv L2T 2 1 dim k MLT 3 1
dim s ML2T 2 1 dim i dim e L2T1
第五节量纲分析与相似原理
5.2 量纲齐次性原理 同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时， 每个基本量纲的幂次应相等，称为量纲齐次性。
忽略重力的伯努利方程
1 2
v2
p
1 2
v02
p0
无量纲化伯努利方程
Cp
p p0
1 2
ρ
v02
1( v v0
)2
（沿流线） （沿流线）
第五节 量纲分析与相似原理
第五节 量纲分析与相似原理
5.4 量纲分析与П定理
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的 物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用 无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物 理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分 析和实验研究。
英
制
量纲幂次式
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
常用导出量纲：根据基本定律或定义式导出，任一量纲 可表示成：[x]=[LaTbMc]
• 例：速度的量纲：[u]=[LT-1]
•
加速度量纲：[a]=[LT-2]
• 力的量纲：[F]=[MLT-2]（F=ma）
• 压强的量纲：[P]=[MLT-2L-2]=[ML-1T-2]
u 2 z p const （沿流线）
2g
dim
u2 2g
LT 1
2
LT 2
1
L
dim z L
dim
p
g
ML-1T 2
ML3 1 LT 2 1 L
dim 常数 L
第五节量纲分析与相似原理
5.3 物理方程的无量纲化
无量纲量：如果一个物理量的所有量纲指数为零，就称为无 量纲（量纲为一）量。 无量纲量可以是相同量纲量的比值（如角度，三角函数）， 也可以是几个有量纲量通过乘除组合而成。
• 粘度的量纲：[μ]=[MLT-2L-2]/[LT-1L-1]=[ML-1T-1] （τ=μdu/dy)
第五节 量纲分析与相似原理
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量
粘度系数
dim v LT 1 dim Q L3T 1
dim g LT 2 dim m MT 1
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
解得：a = b = c = -1
2
ud
1 Re
(雷诺数)
③ П3 =ρa u bd cε
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c L
解得：a = b = 0， c = -1
3
d
（相对粗糙度）
④ П4 =ρa u bd c l (同上)
4
l d
（几何比数）
4．列П数方程 1 f ( 2 , 3, 4 )
p
l
即
f (Re, , )
1 u2
dd
2
或
p 1 u 2 f (Re, , l )
2
dd
第五节 量纲分析与相似原理
5.5 常用的相似准则数
dim ML3
dim ML2T 2
dim F MLT 2
dim L ML2T 2
dim p dim dim K ML1T 2
dim ML1T 1
dim v L2T 1
其他量 角速度，角加速度 应变率
dim T 1 dim xx dim T 1
dim T 2
第五节 量纲分析与相似原理