∂2t ∂t ∂t ∂2t ρcp u ∂x + v ∂y = λ ∂x2 + ∂y2
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3.边界层分析 3.边界层分析 先无量纲化， 使其在0－ 之间变化 之间变化， 先无量纲化 ， 使其在 － 1之间变化 ， 这样所有量 的偏导数的数量级为1 的偏导数的数量级为
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6.比较 6.比较δ与δt 的相对大小
流体的运动粘度反映了流体中由于分子运动而 扩散动量的能力，这一能力越大， 扩散动量的能力，这一能力越大，粘性的影响传递 越远，因而流动边界层越厚。相类似， 越远，因而流动边界层越厚。相类似，热扩散率越 大则温度边界层越厚。 大则温度边界层越厚。 普朗特数反映了流动边界层与温度边界层厚度的 相对大小。 相对大小。 Pr>1 >
定义：当流体流过固体壁面时, 1. 定义：当流体流过固体壁面时, 由于流体粘性的作用, 由于流体粘性的作用,使得在 固体壁面附近存在速度发生剧 烈变化的薄层称为流动边界层 烈变化的薄层称为流动边界层 速度边界层。 或速度边界层。 速度边界层厚度δ 速度等于99%主流速度。 99%主流速度 2. 速度边界层厚度δ ：速度等于99%主流速度。
流动入口段： 流动入口段：速度边界层厚度由零发展到汇合于 通道中心 l d ≈ 0.05Re l d ≈ 60
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引入速度边界层的意义：流动区域可分为主流 6. 引入速度边界层的意义：流动区域可分为主流 边界层区，主流区可看作理想流体的流动， 理想流体的流动 区和边界层区，主流区可看作理想流体的流动，只 在边界层区才需要考虑流体的粘性作用。 在边界层区才需要考虑流体的粘性作用。 粘性作用 y 主流区
1 Re
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∂U ∂U ∂P 1 1 2 ∂2U ∂2U +V =− + ∆ + 2 U 2 2 ∂X ∂Y ∂X Re ∆ ∂X ∂Y
1 1 Re ∆2
1
∂U ∂U ∂P ∂2U U +V =− + 2 ∂X ∂Y ∂X ∂Y
u∞ δ
边界层区 x
0 x
l
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二、Thermal boundary layer
定义：在对流换热时， 1. 定义：在对流换热时，固体壁面附近温度发生剧 烈变化的薄层称为温度边界层 热边界层。 温度边界层或 烈变化的薄层称为温度边界层或热边界层。
温度边界层厚度δ 的规定：过余温度等于99% 2. 温度边界层厚度δt的规定：过余温度等于99% 主流区流体的过余温度。 主流区流体的过余温度。
x X= L Y= y
δ
u U= u∞ ∆=
4.连续方程 4.连续方程
δ
v V= u∞∆
p P= 2 ρu∞
u∞ ∂U ∆ ∂V + =0 L ∂X ∆ ∂Y
L
∂U ∆ ∂V + =0 ∂X ∆ ∂Y
各无量纲的偏导数的数量级为1 要保证二维流动， 各无量纲的偏导数的数量级为1，要保证二维流动， ∆ ∂U ∂V ∂u ∂v =1 + =0 + =0 ∆ ∂X ∂Y ∂x ∂y
边界层内流动状态分为层流与湍流， 边界层内流动状态分为层流与湍流，湍流边界 层又分为湍流核心与层流底层
高等传热学 Advanced Heat Transfer 层流： 层流：温度呈抛物线分布 湍流： 湍流：温度呈幂函数分布
∂T ∂T < ∂y w,L ∂y w,T
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Chap. 2 Boundary layer approximations & boundary layer equations
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§2-1 Velocity boundary layer and thermal boundary layer 一、velocity boundary layer
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特点：边界层厚度δ是比壁面尺度l 3. 特点：边界层厚度δ是比壁面尺度 小一个数量 级以上的小量。 级以上的小量。 δ << l 的速度流动， 如：20℃空气在平板上以 ℃空气在平板上以16m/s 的速度流动，在 1m处边界层的厚度约为 处边界层的厚度约为5mm。 处边界层的厚度约为 。
湍流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层 流，湍流换热比层流换热强
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摩托车车手的膝盖需要特别的保温措施，为什么？ 摩托车车手的膝盖需要特别的保温措施，为什么？
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§2-2 Boundary layer equations
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5.动量方程 5.动量方程 u方程
∂U ∂U ∂P 1 1 2 ∂2U ∂2U U +V =− + ∆ + 2 2 2 ∂X ∂Y ∂X Re ∆ ∂X ∂Y
v方程
∂V ∂P u∞∆ L∆ 2 ∂2V ∂2V ∂V ∆2 U +V ∆ + 2 =− +µ 2 2 2 2 ∂Y ∂Y L ∆ ρu∞ ∂X ∂Y ∂X
1.两种导出方法 1.两种导出方法 (1)基于奇异摄动理论的匹配渐进展开法， (1)基于奇异摄动理论的匹配渐进展开法，揭示了 基于奇异摄动理论的匹配渐进展开法 Prandtl的边界层理论实际是黏性流体渐近理论的特殊 的边界层理论实际是黏性流体渐近理论的特殊 情况 (2)数量级对比 (2)数量级对比 2.研究对象：外掠平板， 2D，常物性，稳态， 2.研究对象：外掠平板， 2D，常物性，稳态，层 研究对象 不可压缩流体， 流，不可压缩流体，忽略黏性耗散
∂2t ∂t ∂t ∂2t ρcp u ∂x + v ∂y = λ ∂x2 + ∂y2
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边界层微分方程组是指对边界层区域的数学描 述，它是在完整的数学描述基础上根据边界层的特 点简化而得到。简化可采用数量级分析的方法。 数量级分析的方法 点简化而得到。简化可采用数量级分析的方法。 y 主流区 0 x
Pr =ν / a
δ δt
Pr<1 <
δt
δ
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根据普朗特数的大小，流体一般可分为三类： 根据普朗特数的大小，流体一般可分为三类： （1）高普朗特数流体，如一些油类的流体，在 ）高普朗特数流体，如一些油类的流体， 的量级； 102~103的量级； 之间， （2）中等普朗特数的流体，0.7~10之间，如气体为 ）中等普朗特数的流体， 之间 0.7~1.0, 水为 水为0.9~10； ； （3）低普朗特数的流体 如液态金属等，在0.01的 ）低普朗特数的流体, 如液态金属等， 的 量级。 量级。
u∞ δ
l 边界层区 x
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以稳态、二维、常物性、 以稳态、二维、常物性、不可压缩流体的对流换 热问题为例，其微分方程组可表示为： 热问题为例，其微分方程组可表示为：
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y
∂u ∂u ∂p ∂2u ∂2u ρ u + v ) = − + µ( 2 + 2 ) （ ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂v ∂v ∂p ∂2v ∂2v ρ u + v ) = − + µ( 2 + 2 ) （ ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y
∂P =0 ∂Y
∂p =0 ∂y
dp dx
p u2 + = const ρ 2
dp du∞ − = ρu∞ dx dx
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6.能量方程 6.能量方程 y x Y= X= L∆t L
∂Θ ∆ ∂Θ λ 1 2 ∂2Θ ∂2Θ U + V = ∆t + 2 2 2 ∂X ∆t ∂Y ρcp Lu∞ ∆t ∂X ∂Y 1 1 Re Pr ∂Θ ∆ ∂Θ 1 1 1 ∂2Θ U + V = 2 ∂X ∆t ∂Y Re Pr ∆t ∂Y 2 主流方向二阶导数项略去， 主流方向二阶导数项略去，说 ∂t ∂t λ ∂2t 明在热边界层中， 明在热边界层中，沿y方向的导 u +v = 2 ∂x ∂y ρcp ∂y 热与对流项有相同数量级， 热与对流项有相同数量级，而
沿x方向导热可以忽略
湍流核心 层流底层
对于外掠平板的流动， 对于外掠平板的流动，一般取
临界雷诺数
Rec = 5×10
5
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5.管内流动 5.管内流动 特点： 特点：边界层的形成和发展受到空间限制 内部流动过程中， 内部流动过程中，固体表面上流体在其成长过 程中可能受到另一侧固体表面的限制， 程中可能受到另一侧固体表面的限制，形成边 界层干扰或汇合
(t − tw ) δ
t
= 99%(t∞ − t w )
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(t∞ − tw )
思考： 99％ 思考：热边界层厚度可否定义成tδ＝99％t∞？
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