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实验四:抽样定理


A/D 转换器的输出信号就是一个真正意义上的离散时间信号,而不再是冲激串了。 A/D 转换器的示意图如图 4.4 所示。
Sampler
x(t)
Holder
Quantizer
x[n]
p(t)
Ts
图 4.4 A/D 转换器示意图
上述的实际抽样过程,很容易用简单的数学公式来描述。设连续时间信号用 x(t)表示, 抽样周期(Sampling Period)为 Ts,抽样频率(Sampling Frequency)为ωs,则已抽样信 号的数学表达式为
图 4.6 信号重建原理图
理想低通滤波器也称重建滤波器,它的单位冲激响应
h(t) = ωcT sin(ωct)
4.7
πωct

∑ 已抽样信号 xp(t)的数学表达式为: x p (t) = x(nT )δ (t − nT ) ,根据系统输入输出的 −∞
卷积表达式,我们有
xr (t) = x p (t) ∗ h(t)
wm = 2*pi;
% The highest frequency of x(t)
a = input('Type in the frequency rate ws/wm=:'); % ws is the sampling frequency
wc = wm;
% The cutoff frequency of the ideal lowpass filter
根据式 4.5 可计算出已抽样信号的频谱。下面给出的范例程序 Program4_1 就是按照式 4.5 进行计算的。其中,主要利用了一个 for 循环程序完成周期延拓运算。
% Program4_1 clear, close all, tmax = 4; dt = 0.01; t = 0:dt:tmax; Ts = 1/10; ws = 2*pi/Ts; w0 = 20*pi; dw = 0.1; w = -w0:dw:w0; n = 0:1:tmax/Ts; x = exp(-4*t).*u(t); xn = exp(-4*n*Ts); subplot(221) plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'), xlabel('Time t'), axis([0,tmax,0,1]), grid on subplot(223) stem(n,xn,'.'), title('The sampled version x[n] of x(t)'), xlabel('Time index n'), axis([0,tmax/Ts,0,1]), grid on Xa = x*exp(-j*t'*w)*dt; X = 0; for k = -8:8;
% Program4_2
% Signal sampling and reconstruction
% The original signal is the raised cosin signal: x(t) = [1+cos(pi*t)].*[u(t+1)-u(t-1)].
clear; close all,
程序绘制信号 x(t)和已抽样信号 x[n]的波形图。
范例程序 Sampling 如下:
% Sampling
clear, close all,
t = 0:0.01:10;
Ts = 1/4;
% Sampling period
n = 0:Ts:10;
% Make the time variable to be discrete
3、 信号重建
如果满足抽样定理,那么,我们就可以唯一地由已抽样信号 x[n] 恢复出原连续时间信 号 x(t)。在理想情况下,可以将离散时间序列通过一个理想低通滤波器,图 4.6 给出了理想 情况下信号重建的原理示意图。
⊗ x(t)
x p (t) Ideal Lowpass
Filter
p(t)
xr (t)
x = cos(0.5*pi*t);
xn = cos(0.5*pi*n);
% Sampling
subplot(221)
plot(t,x), title('A continuous-time signal x(t)'), xlabel('Time t')
subplot(222)
stem(n,xn,'.'), title('The sampled version x[n] of x(t)'), xlabel('Time index n') 执行该程序后,得到的波形图如图 4.5 所示。
由此,我们得出下面的结论:当抽样频率 ωs > 2ωM 时,将原连续时间信号 x(t)抽样而 得到的离散时间序列 x[n]可以唯一地代表原连续时间信号,或者说,原连续时间信号 x(t)可 以完全由 x[n]唯一地恢复。
以上讨论的是理想抽样的情形,由于理想冲激串是无法实现的,因此,这种理想抽样过 程,只能用来在理论上进行抽样过程的分析。在实际抽样中,抽样往往是用一个 A/D 转换 器实现的。一片 A/D 转换芯片包含有抽样保持电路和量化器。模拟信号经过 A/D 转换器后,
X = X + x*exp(-j*t'*(w-k*ws))*dt; end subplot(222)
plot(w,abs(Xa)) title('Magnitude spectrum of x(t)'), grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))]) subplot(224) plot(w,abs(X)) title('Magnitude spectrum of x[n]'), xlabel('Frequency in radians/s'),grid on axis([-60,60,0,1.8*max(abs(Xa))]) 本程序可以用来观察在不同的抽样频率条件下,已抽样信号的频谱的混叠程度,从而更 加牢固地理解抽样定理。但是,提请注意的是,在 for 循环程序段中,计算已抽样信号的频 谱 X 时,没有乘以系数 1/Ts,是为了便于比较 X 与 Xa 之间的区别,从而方便观察频谱的 混叠程度。另外,程序中的时间步长 dt 的选择应该与抽样周期 Ts 保持一定的比例关系,建 议 Ts 不应小于 10dt,否则,计算得到的已抽样信号的频谱将出现错误。
∑ X s (
jω )
=
1 Ts

X(
n = −∞
j(ω

nωs ))
4.5
表达式 4.5 告诉我们,如果信号 x(t)的傅里叶变换为 X(jω),则已抽样信号 xs(t) 的傅里
叶变换 Xs(jω)等于无穷多个加权的移位的 X(jω)之和,或者说,已抽样信号的频谱等于原连
续时间信号的频谱以抽样频率ωs 为周期进行周期复制的结果。如图 4.3 所示:
−∞
显然,已抽样信号 xs(t) 也是一个冲激串,只是这个冲激串的冲激强度被 x(nTs) 加权了。 从频域上来看,p(t) 的频谱也是冲激序列,且为:

∑ F{ p(t)} = ωs δ (ω − nωs )
4.4
−∞
根据傅里叶变换的频域卷积定理,时域两个信号相乘,对应的积的傅里叶变换等于这两 个信号的傅里叶变换之间的卷积。所以,已抽样信号 xs(t)的傅里叶变换为:
x[n] = x(t) t=nTs = x(nTs )
4.6
在 MATLAB 中,对信号抽样的仿真,实际上就是完成式 4.6 的计算。下面给出一个例 题和相应的范例程序,来实现信号抽样的仿真运算。
例题 4.1 设连续时间信号为一个正弦信号 x(t) = cos(0.5πt),抽样周期为 Ts = 1/4 秒,编
图 4.5 连续时间信号及其抽样后的离散时间序列 在这个范例程序中,先将连续时间 t 进行离散化,使之成为以 Ts = 1/4 秒的离散时间 n, 然后,将 n 代入到信号 x(t) 的数学表达式中计算,就完成了抽样过程,且得到了抽样后的 离散时间序列 x[n]。
2、 信号抽样过程中的频谱混叠
为了能够观察到已抽样信号的频谱是否会存在混叠现象,或者混叠程度有多么严重,有 必要计算并绘制出已抽样信号的傅里叶变换。
4.8
将 xp(t)代入式 4.8,有
∑ xr (t)
=
∞ n=−∞
x(nT ) ωcT π
sin(ωc (t − nT )) ωc (t − nT )
4.9
这个公式称为内插公式(Interpolation Formula),该公式的推导详见教材,请注意复 习有关内容。须提请注意的是,这里的内插公式是基于重建滤波器为理想低通滤波器的。若 重建滤波器不是理想低通滤波器,则不能用这个内插公式。理想低通滤波器的频率响应特性 曲线和其单位冲激响应曲线如图 4.7 所示。
H ( jω) T
ω
−ωc
ωc
h(t) T ωc π
t
图 4.7 理想低通滤波器的幅度频率响应和单位冲激响应
范例程序程序 Program4_2 就是根据这个内插公式来重构原始信号。本程序已经做了较 为详细的注释,请结合教材中的内插公式仔细阅读本程序,然后执行,以掌握和理解信号重
建的基本原理。范例程序 Program4_2 如下。
实验四:抽样定理
一、实验目的
1、理解信号的抽样及抽样定理以及抽样信号的频谱分析。 2、掌握和理解信号抽样以及信号重建的原理。
二、实验原理
1、信号的抽样及抽样定理
抽样(Sampling),就是从连续时间信号中抽取一系列的信号样本,从而,得到一个离 散时间序列(Discrete-time sequence),这个离散序列经量化(Quantize)后,就成为所谓的 数字信号(Digital Signal)。今天,很多信号在传输与处理时,都是采用数字系统(Digital system)进行的,但是,数字系统只能处理数字信号,不能直接处理连续时间信号或模拟信 号(Analog signal)。为了能够处理模拟信号,必须先将模拟信号进行抽样,使之成为数字 信号,然后才能使用数字系统进行传输与处理。所以,抽样是将连续时间信号转换成离散时 间信号必要过程。模拟信号经抽样、量化、传输和处理之后,其结果仍然是一个数字信号, 为了恢复原始连续时间信号,还需要将数字信号经过所谓的重建(Reconstruction)和平滑 滤波(Smoothing)。图 4.1 展示了信号抽样与信号重建的整个过程。
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