线性代数课后题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1)；21-12 解：；5)1(12221-12=-⨯-⨯= (2)；11122++-x x xx 解：；1)1)(1(111232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22ba b a解：;2222ba ab b a ba -=(4);598413111 解：;5941531811931841511598413111=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(5);00000dc b a解：;0000000000000000=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=d c b a d b c a dc ba (6).132213321 解：.18321132213333222111132213321=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2.求下列排列的逆序数： （1）34215；解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312；解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5.（3）n(n-1)…21；解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2.(4）13…(2n-1)(2n) …42.解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：(1)71100251020214214；解：7110025102021421434327c c c c --01142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯--- =-143102211014--321132c c c c ++-14171721099-= 0.(2);0111101111011110解：01111011110111104342c c c c --0111110110111000--=14)1(11110111+-⨯-- =-111101011--12c c +-121111001-=-1211-=-3.(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab---；解：111111111---=---=---abcdef fffd d d a a a bce efcfbfde cd bd ae ac ab3231c c c c -+12122100--abcdef=.412102)1(12abcdef abcdef=-⨯-+(4);100110011001dc b a---解：d c ba 100110011001---21ar r +dcb a ab 10110011010---+=)1()1(12-⨯-+dca ab 101101--+23dc c +010111-+-+cd cada ab =)1()1(23-⨯-+cdad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd .(5);222222ba c ccb c a b b a a cb a ------解：b ac c cb c a b b aa cb a ------2222223231c c c c --ba c cb ac b a b c b a a cb a --++++------2020 13r r +b ac c b a b c b a a c b a -+++------0202023r r +ba cbc b a a cb a ++------002020=3)(c b a ++. (6);1502321353140422-----解:1502321353140422-----134152c c c c --1031319522160422------=13192216422-----23212c c c c ++151102417020--- =15102472---=.270]10)24(157[2-=⨯--⨯--(7) ;222232222222221n解：n 222232222222221n,2,i 1=-rr i 2001010100012221-n＝201222)1(12--+n＝].)!2[(2--n(8) .001000000100a a a a解：阶阶11111000100)1()1(001000000100-+-+-+-=n n n a a a a a aaa a a=.)1()1(22)1(11---++-=--+n n n n n na a a aa 阶5.证明下列等式:(1)1112222b b a a b aba +=3)(b a -; 证明：1112222bb a a b ab a +00122222221312a b a b a a b a ab a cc c c ------ab ab a b a ab 22)1(22213-----=+21)(2a b a a b +-=.)(3b a -=(2)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;证明：2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d dd c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项.06416416416412222=+ddd c cc bb b a aa (3) 1221100000100001a x a a a a x x x n n n+-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明：用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D10010001)1(11----+=+-x x a xD D n n n nn n a xD +=-1n n n n a x a x a x ++++=--111 ,所以，对于n 阶行列式命题成立. 6.计算下列各题：(1) 设1x ,2x ,3x 是方程03=++q px x的3个根，计算行列式.132213321x x x x x x x x x 解：因为1x ,2x ,3x 是方程03=++q px x的3个根，即0))()((321=---x x x x x x ，那么0321=++x x x ，313221x x x x x x p ++=，321x x x q -=.132213321x x x x x x x x x 第一列都加到131322121332321x x x x x x x x x x x x x x x ++++++=132132000x x x x x x =0.(2) 已知xx x x xx f 21123232101)(=，用行列式的定义求3x 的系数.解：由行列式的定义，xx x x x2112323210143214321)1(p p p p t a a a a -=，其中t 为4321p p p p 的逆序数．注意到行列式中含x 的ij a 有11a ,12a ,22a ,33a ,44a ，要使出现3x ，那么43214321)1(p p p p ta a a a -中33a ,44a 至少要出现一个，若只出现33a ，那么22a 必须出现，从而11a 也必须出现，这导致44a 也必须出现，因此，不可能只出现33a . 这样要使出现3x ，只有一种情况：4,3,1,24321====p p p p ，那么3x 的系数为1)1()2134(-=-t . (3) 设四阶行列式cdba a cb d a d bc dc b a D =4，求44342414A A A A +++，其中4i A 为元素4i a 的代数余子式.解：因为=cdb a a cbda dbcd c ba 4444343424241414A a A a A a A a +++，所以44342414A A A A +++=1111d b a c bdd b c c ba =0.(4) 设n 阶行列式xa a a x a aa x D=，求.21nn n n A A A +++解：nn n n A A A +++ 21=111a x a aa x 1-n ,2,,1i n=-ar r i 111000 a x a x --=.)(1--n a x7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1) mx x x x m x x x x mx D n nn n---=212121；解：nD 第一列都加到mx x mxx m x mxx x m xn ni in ni in ni i-----∑∑∑===212121=mx x x m x x x m x n n n ni i ---∑=2221111)(n,2,i 1 =-r r i mmx x m x nni i ---∑=211)(=).()(11m x m ni i n --∑=-(2)nn nD n ----=112211321;解：n D到前一列后一列加nnn n n ---++++++121321=.2)!1()1(1n n +-- (3) dcdc b a ba D n=2，其中未写出的元素为0;解：阶展开按第一行122000-n ndd c d c b a b a a D阶121200)1(-+-+n n cdcd cb ab ab都按最后一行展开2222---n n bcD adD由此得递推公式： )1(22)(--=n nD bc ad D ，即 .)(2n n bc ad D -=(4)nna a a D +++=11111111121；解：nD 阶扩展为1+n 阶1211110111011101111++++n na a a ni r r i ,,3,21=-阶121010010011111+---n na a a列展开按最后一阶n n n a a a a 12110010011111----+阶n n n a a a 00010********)1(1-21)1(1-----++=1-n n D a +∏-=11n i ia由此得递推公式： ∏∏∏-=-=---=-++=+=112121111)(n i in i i n n n n i i n n na a D a a a D a D=∏∏=-=---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ni i n n n n i i n n n n n a a a D a a a a a a D a a 1212111211111=.1111∏∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n j j ni ia a (0≠i a , i=1 ,2,…,n ) 若i a 中为零的个数为1，则 111a a a a D i i n n -+=， 若i a 中为零的个数大于1，则 0=nD .(5) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+.提示：用德蒙行列式计算.解：nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++∏+≤<≤++--+--=112)1()]1()1[()1(n i j n n j a i a.!!1!2)!1(!)]([)1(1112)1(∏∏=+≤<≤+=⋅⋅⋅-⋅=---=ni n i j n n i n n j i8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++;32,12,02 )1(z y x z y x z y x解：81315130150121211112121-=---=---=--=D ， ,4121212111120213111121=--=--=--=D,413111311120012311121012=-=-==D,123315331152013111120213-=--=--=--=D.23,21,21 321==-==-==∴D D z D D y D D x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-.3 37 ,1 3,3 ,4432 )2(4324214324321x x x x x x x x x x x x x 解：1684702500113753511113705350111043211370103111104321=--=---=-----=----=D，43216160202404324110831443230001411038314413731031111343241--=---=-----=------=D2811602042161620242-=-=--=，,4840002400113034410400420011304341133053301130434113301011113043412=-----=----=------=----=D,9680012001310442182400012001310442113705351310442113701131131044213=---=----=------=-----=D ,024400122003110432133703353110432133701031311043214=-----=-------=-----=D.0,6,3,8 44332211======-==∴DD x DD x DD x DD x9.λ,μ取何值时，以下齐次方程组有非零解？⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.020 0 321321321x x x x x x x x x μμλ，，解 μλμμλλμμμλλμμμλ-=---=--==0110111101211111D ，齐次线性方程组有非零解，则0=D 即 0=-μλμ得 10==λμ或.。