对数函数（第二课时）【学习目标】1．巩固对数函数的概念、图象和性质．2．掌握与对数函数有关的复合函数的性质，如奇偶性、单调性、值域等的求解方法．【学习障碍】1．应用图象和性质解题时忽略对底数的分类讨论．2．研究复合函数的有关性质时忽略对定义域的考查．【学习策略】Ⅰ．学习导引1．阅读课本P83~85页．2．本课时的重点是应用对数函数的图象和性质去解决综合性问题，难点是有关复合函数有关单调性、奇偶性的判断，求证．3．本课时用到的主要知识及方法．（1）利用图象法研究对数函数的有关性质．对数函数的图象要分底数a＞1及0＜a＜1讨论．对于几个底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x轴；对于几个底数都大于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴．以上规律可总结成“底大头低”四个字来理解．实际上，作出直线y＝1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小．如图2—14所示：利用图象法研究不同底的两个对数函数的有关性质时特别方便．（2）利用“同增异减”性的方法求复合函数的单调区间时，一定要先考查定义域．如y＝log2（x2－2x）先要考查x2－2x＞0，即x＜0或x＞2，然后再“同增异减”．利用定义法判断复合函数的奇偶性时，也要先考查函数的定义域，若关于原点对称，则应用定义，否则为非奇非偶函数．关于复合函数的研究还常用换元法等方法．［例］已知log a 2＞log b 2＞0，判断a 、b 的大小．分析：用图象法．解析：由两个函数值均大于0知a 、b 都大于1，作出两个底数大于1的对数函数y ＝log a x 、y ＝log b x 的图象，找出横坐标2对应的两个函数值．由log a 2＞log b 2确定两个图象对应的解析式．由“底大头低”的规律知b ＞a ＞1．如2—15所示：4．在学习中，应继续充分运用互为反函数的两个函数的图象和性质的对应关系，由已掌握的指数函数的图象和性质，帮助学习理解对数函数的图象和性质，结合本节的学习，要进一步培养数形结合、分类讨论等数学思想方法的应用能力．Ⅱ．知识拓宽在前面我们已经学过原函数与反函数性质的一些对应关系，如：①原函数的定义域、值域、对应法则，分别是其反函数的值域，定义域，逆对应法则．②原函数的图象与其反函数的图象关于y ＝x 对称．③原函数增，反函数增；例y ＝2x ，y ＝log 2x原函数减，反函数减；例y ＝（21）x ，y ＝x21log原函数是奇函数，反函数是奇函数；例y ＝x 3是奇函数，y ＝31x 是奇函数．原函数是偶函数，反函数不存在（f （x ）＝a ，x ∈{0}除外）（以上所说，函数都在各自定义域上） 如1．y ＝1212-+x x 的反函数是y ＝log 211-+x x （x >1或x ＜1）y ＝1212-+x x 是奇函数，y ＝log 211-+x x 也为奇函数，证明f （x ）＝log 211-+x x 为奇函数．证明：f （x ）＝log 211-+x x ，f （－x ）＝log 211--+-x x ＝log 211+-x x＝log 2（11-+x x ） －1＝－f （x ）∴f （x ）＝log 211-+x x 为奇函数．如2．f （x ）＝lg （21x +＋x ）的反函数是y ＝21010xx --．f （x ）＝lg （21x +＋x ）为奇函数，则y ＝21010xx --也为奇函数求证：f （x ）＝lg （21x +＋x ）为奇函数．证明：f （－x ）＋f （x ）＝lg （21x +－x ）＋lg （21x +＋x ）＝lg （1＋x 2－x 2）＝0∴f （－x ）＝－f （x ），∴f （x ）＝lg （21x +＋x ）为奇函数．Ⅲ．障碍分析1．如何求指数函数、对数函数的反函数？［例1］求下列函数的反函数：（1）y ＝3222+-x x ，x ∈（1，＋∞）;（2）y ＝log 2（x 2－2x ＋3），x ∈（－∞，1］．解：（1）由y ＝3222+-x x >0，得x 2－2x ＋3＝log 2y ，即（x －1）2＝log 2y －2．∵x >1，∴x －1＝2log 2-y ，x ＝1＋2log 2-y ;又当x >1时，y ＝3222+-x x ＝2)1(22+-x ＋2>4， 故所求反函数为f －1（x ）＝1＋2log 2-x （x >4）．（2）由y ＝log 2（x 2－2x ＋3），得x 2－2x ＋3＝2y ，即（x －1）2＝2y －2．∵x ≤1，∴x －1＝－22-y ，x ＝1－22-y ．又当x ≥1时，y ＝log 2（x 2－2x ＋3）＝log 2［（x －1）2＋2］≥1．故所求反函数为f－1（x ）＝1－22-x （x ≥1） 点评:①求反函数时要指出它的定义域，这可以通过研究原函数的值域来求．②主要按三步走：一求，二换，三定．2．如何求有关对数函数的定义域？［例2］求下列函数的定义域：（1）y ＝log （x ＋2）2322--x x （2）y ＝)(log 14a x a +-（3）y ＝)61(log 231x x --解：（1）要使函数有意义，则⎪⎩⎪⎨⎧>--≠+>+.023212,022x x x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≠->.221,1,2x x x x 或故所求函数的定义域是（－2，－1）∪（－1，－21）∪（2，＋∞）．（2）要使函数有意义，则1－log a （x ＋a ）>0，即log a （x ＋a ）＜1．若0＜a ＜1，则x ＋a >a ，∴x >0;若a >1，则0＜x ＋a ＜a ，∴－a ＜x ＜0．因此，当a >1时，所求定义域为（－a ，0）;当0＜a ＜1时，所求定义域为（0，＋∞）．（3）由已知得31log （1－x －6x 2）≥0，∴0＜1－x －6x 2≤1． 解之，得－21＜x ≤－61或0≤x ＜31． 故所求定义域为（－61,21-］∪［0，31）．点评：求函数的定义域应注意以下问题：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零;③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零．如果在一个函数中数条并存，求交集．3．如何比较对数函数值的大小？［例3］比较下列各组数的大小．（1）3log 45，2log 23;（2）log 0．20．1，0．20．1;（3）log 20．4，log 30．4，log 40．4 分析：一般地，我们可以利用函数的单调性来比较两个数的大小，关键是构造恰当的函数．解：（1）∵3log 45＝log 4125，2log 23＝log 29＝log 481，又因为函数y ＝log 4x 在（0，＋∞）上是增函数，而125>81，所以，3log 45>2log 23．（2）∵0＜0．2＜1，∴y ＝log 0．2x 在（0，＋∞）上是减函数，log 0．20．1>log 0．20．2＝1;又y ＝0．2x 在（－∞，＋∞）上是减函数，∴0．20．1＜0．20＝1，因此log 0．20．1>0．20．1． （3）∵y ＝log 0．4x 在（0，＋∞）上是减函数，∴log 0．44＜log 0．43＜log 0．42＜0， 于是2log 13log 14log 14.04.04.0>>，即log 40．4>log 30．4>log 20．4．点评：如果已知的数值是同一函数的不同函数值，则依单调性，立即可比较其大小．如果已知的数值不是同一函数的函数值，则应设法找到中介值（如（2）中的“1”），然后可比较之．（3）题也可以在同一坐标系中，考查函数y ＝log 4x ，y ＝log 3x 及y ＝log 2x 的图象特征，从而得出结论．4．如何求有关对数复合函数的单调区间？求函数y ＝82log 221-+x x 的递增区间．解：y ＝82log 221-+x x ＝21log 21（x 2＋2x －8） 令x 2＋2x －8>0，得x ＜－4或x >2． 由于对数函数的底21∈（0，1），所以u ＝x 2＋2x －8（u >0）的单调递减区间就是y ＝)82(log 21221-+x x 的递增区间．因为u ＝x 2＋2x －8的递减区间是（－∞，－4）（u >0），所以y ＝82log 221-+x x 的递增区间是（－∞，－4）．判断函数的单调性必须求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．注意：利用“同增异减”性的方法求复合函数的单调性，一定要先考查定义域．利用定义法时注意作差、作商比较对象．Ⅳ．思维拓展将y ＝2x 的图象____________，再作关于直线y ＝x 对称的图象，可得到函数y ＝log 2（x＋1）的图象．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ．先向下平行移动1个单位精析：本题考查函数图象的平移变换和对称变换，同时考查指数函数和对数函数是互为反函数这一性质，加强了对逻辑思维能力的考查．本题有以下几种解题方法： 方法一：与函数y ＝log 2（x ＋1）的图象关于直线y ＝x 对称的曲线是反函数y ＝2x －1的图象．为了得到它，只需将y ＝2x 的图象向下平移1个单位．方法二：在同一坐标系内分别作出y ＝2x 与y ＝log 2（x ＋1）的图象，直接观察，即可得D ．方法三：（0，0）点在函数y ＝log 2（x ＋1）的图象上，（0，0）点关于y ＝x 对称的点还是它本身．函数y ＝2x 的图象向左或向右或向上平行移动都不会过（0，0）点，因此排除A 、B 、C ，即得D ．答案：D注：图象的几种基本变换：①平移变换:y ＝f （x ＋a ），将y ＝f （x ）的图象向左（a >0）或向右（a ＜0）平移|a |个单位可得．如y ＝log 2（x ＋1）的图象由y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得． ②翻折变换：y ＝|f （x ）|，将y ＝f （x ）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，其他部分不变．如y ＝lg x 和y ＝|lg x |的图象．③对称变换：y ＝－f （x ），作y ＝f （x ）的图象关于x 轴的对称图形即可．y ＝f （－x ），作y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称即可．y ＝－f （－x ），作y ＝f （x ）的图象关于原点的对称图形即可．Ⅴ．探究学习已知函数y ＝log a （kx 2＋4kx ＋3）．（1）若函数的定义域为R ，求k 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求k 的取值范围．参考答案：分析：由于真数是一个二次三项式的形式，必须灵活运用二次函数、二次不等式的有关知识．解：（1）要使函数的定义域为R ，只须对一切实数x 下式恒成立：kx 2＋4kx ＋3>0其充要条件是k ＝0或⎩⎨⎧<⋅-=∆>0341602k k k 解得k ＝0或0＜k ＜43．故k 的取值范围是［0，43）．（2）要使函数的值域为R ，只需kx 2＋4kx ＋3能取得一切正数，则⎩⎨⎧≥-=∆>0121602k k k ，解得k ≥43故k ≥43时函数值域为R ．注意：第二问不容易理解．【同步达纲练习】一、选择题1．函数y ＝1＋log 2x （x ≥4）的值域是A ．［2，＋∞)B ．（3，＋∞)C ．［3，＋∞)D ．（－∞，＋∞）2．下列各函数中在（0，2）上为增函数的是A ．y ＝21log （x ＋1）B ．y ＝log 212-xC ．y ＝log 3x 1D ．y ＝31log （x 2－4x ＋5）3．函数y ＝21log ［（1－x ）（x ＋3）］的递减区间是A ．（－3，－1）B ．（－∞，－1）C ．（－∞，－3）D ．（－1，＋∞）4．已知函数y ＝log a （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是A ．0＜a ＜1B ．a >1C ．1＜a ＜2D ．1＜a ≤2二、填空题5．若0＜a ＜1，下列不等式中，一定成立的是____________．①0．8a ＜0．7a ②a 0．8＜a 0．9 ③log a 0．8＜log a 0．9 ④0．8lg a ＜0．7lg a 6．函数y ＝3lg lg 22--x x 的定义域和值域分别为____________． 7．函数y ＝ln （4＋3x －x 2）单调递增区间是____________．三、解答题8．已知函数f （x ）＝log a 11-+x x （a >0且a ≠1）（1）求f （x ）的定义域；（2）判断函数的奇偶性和单调性；（3）求f （x ）的反函数．9．已知x 满足条件2（21log x ）2＋921log x ＋9≤0，求函数f （x ）＝（log 23x ）·（log 24x ）的最大值和最小值．参考答案【同步达纲练习】1．C 提示：∵x ≥4，∴log 2x ≥2，即y ≥3∴函数y ＝1＋log 2x （x ≥4）的值域是［3，＋∞）2．D 提示：设t ＝x 2－4x ＋5＝（x －2）2＋1则y ＝31log t由函数t ＝x 2－4x ＋5在（0，2）上递减∴函数y ＝31log （x 2－4x ＋5）在（0，2）上递增．3．A 提示:设t ＝（1－x ）（x ＋3）＝－x 2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4由（1－x ）（x ＋3）＞0得－3＜x ＜1当x ∈（－3，－1）时，t ＝（1－x ）（x ＋3）递减．∴选A4．C 提示：若0＜a ＜1，则函数在定义域上是增函数；若a ＞1，则当0≤x ≤1时，2－ax ＞0恒成立，即x ＜a 2，因此a 2＞1，∴1＜a ＜2∴选C二、5．④ 提示：∵a a a )78(7.08.0=＞1，∴0．8a ＞0．7a ，因此①不成立．由指数函数y ＝a x （0＜a ＜1）和对数函数y ＝log a x （0＜a ＜1）的单调性知②③不成立．∵0＜a ＜1，∴lg a ＜0，a a a lg lg lg )78(7.08.0=＜1∴④成立．6．0＜x ≤101或x ≥1000 ［0，＋∞） 提示：由lg 2x －lg x 2－3≥0得lg x ≤－1或lg x≥3∴0＜x ≤101或x ≥1000设t ＝lg x ，则t ≤－1或t ≥3∴y ＝322--t t 的值域是［0，＋∞］． 7．（－1，23] 提示：令u （x ）＝4＋3x －x 2，又∵4＋3x －x 2＞0⇒x 2－3x －4＜0解得－1＜x ＜4;又u （x ）＝－x 2＋3x ＋4＝－（x －23）2＋425是对称轴为x ＝23，开口向下的抛物线，u （x ）在（－1，23]上是增函数，在［23，4）上是减函数，又y ＝ln u （x ）是定义域上的增函数，根据复合函数的单调性，y ＝ln （4＋3x －x 2）在（－1， 23］上是增函数．三、8．解：（1）由11-+x x ＞0得x ＜－1或x ＞1，∴函数y ＝log a 11-+x x 的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞） （2）f （－x ）＝log a 11--+-x x ＝log a 11+-x x ＝－log a 11-+x x ＝－f （x ）∴f （x ）为奇函数．当a ＞1时，f （x ）＝log a 11-+x x 在（－∞，－1），（1，＋∞）上递减；当0＜a ＜1时，f （x ）＝log a 11-+x x 在（－∞，－1），（1，＋∞）上递增；（3）设y ＝f （x ），则y ＝log a 11-+x x ，∴11-+x x ＝a y ，即x ＝11-+y y a a ，y ≠0∴f －－1（x ）＝11-+x x a a （x ≠0）．9．解：由2（21log x ）2＋921log x ＋9≤0，原式化为（221log x ＋3）（ 21log x ＋3）≤0，∴－3≤21log x ≤－23，即23≤log 2x ≤3，又f （x ）＝（log 2x －log 23）（log 2x －2）＝（log 2x ）2－（2＋log 23）·log 2x ＋2log 23，∵23≤log 2x ≤3由图象知，当log 2x ＝3时，f （x ）max ＝f （3）＝3－log 23，其最小值f （x ）min ＝222)3log 2(4144--=-a b ac ．。