已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC1. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C2. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BECDB ADBCAB A CDF2 1 E6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

.7.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C8已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠CDCBAFEAB CD9．已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE10．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．13．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：FAEDCBOEDCBA24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ． 证明：延长BA 、CE ，两线相交于点F ∵BE ⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90° 在△BEF 和△BEC 中 ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC∴△BEF ≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF 在△ABD 和△ACF 中 ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90° ∴△ABD ≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE 25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

26、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

证明：∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF∴△BEM ≌△CFMFE DCBA MFECBAFE DCBA∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.27、（10分）如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。

求证：BD ⊥AC 。

三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等，它们全等，所以角ADB 和角CDB 相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD 垂直AC28、（10分）AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF 证明：在△ABD 与△ACD 中AB=ACBD=DCAD=AD ∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中BD=DC ∠BDF=∠FDCDF=DF ∴△FBD ≌△FCD ∴BF=F C29、（12分）如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。

求证：AF=DE 。

因为AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为 角DCB=角ABFAB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE30.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.证：∵AB 平行CD （已知）∴∠B=∠C （两直线平行，内错角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴EM=FM （中点定义）在△BME 和△CMF 中 BE=CF （已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证）∴△BME 全等与△CMF （SAS ）∴∠EMB=∠FMC （全等三角形的对应角相等） ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 证明：∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF ∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF ∴⊿ABE ≌⊿CDF （SAS ）32.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

DCBA FDCBAFE D C BADAFE连结BD ，得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC ，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE ≌△ABF 得AE=AF33．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为AC 是公共边，所以AAS==>三角形ADC 全等于三角形ABC.所以BC 等于DC ，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC 全等于三角形BEC 所以∠5=∠634．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB 平行DE ，BC 平行EF 所以角A+角EDF ，角BCA=角F （两直线平行，内错角相等）然后SSA （角角边）三角形全等35．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．证明：因为 AB=AC ， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD ⊥AC ，CE ⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC 全等于三角形DCB 所以 BE ＝CD36、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE =DF ． AAS 证△ＡＤＥ≌△ADF37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？654321E DCBAAC B DEF AEB FDCBAE角C=角E=90度角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE △ABC ≌△DAE AD=AB=538．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。

求证：MB=MC 证明∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形∴∠B=∠C又∵ME=MF ，△BEM 和△CEM 是直角三角形 ∴△BEM 全等于△CEM ∴MB=MC39.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠ ⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证： 证明：已知1,2求证4因为AD=BC AC=BD ，在四边形ADBC 中，连AB 所以△ADB 全等于△BCA 所以角D=角C以4,5为条件，1为结论。

即：在四边形ABCD 中，∠D=∠C ，∠A=∠B ，求证：AD=BC因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C ，∠A=∠B ，所以 2(∠A+∠D)=360°， ∠A+∠D=180°，所以 AB//DC40．在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.CMF E BC Ｄ Ｅ（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE ．在Rt △ADC 和Rt △CEB 中，{∠ADC=∠CEB ∠ACD=∠CBE AC=CB ，∴Rt △ADC ≌Rt △CEB （AAS ），∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=DC+CE=BE+AD ；（2）不成立，证明：在△ADC 和△CEB 中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ； 41．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF （1）证明;因为AE 垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF 垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC 和三角形FAB 全等所以EC=BF 角ECA=角F （2）(2)延长FB 与EC 的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证）所以角G=角CAF 因为角CAF=90度所以EC 垂直BF42．如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。

求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

证明：（1）∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC ，CN=AB ∴△ABM ≌△NAC ∴AM=AN（2）∵△ABM ≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM ⊥AN43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF 连接BF 、CE ，证明△ABF 全等于△DEC （SAS ），然后通过四边形BCEF 对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC 平行于EF 44．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由在AB 上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE 为公共边,所以三角形CAE 全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBNBE 为公共边, 所以三角形EBN 全等三角形EBD所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BDF C A M NE 1234 A E B M C F45、（10分） 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．证明：∵AD 是中线∴BD=CD ∵DF=DE ，∠BDE=∠CDF ∴△BDE ≌△CDF ∴∠BED=∠CFD ∴BE‖CF46、(10分)已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB CD ∥．证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt △DEC 和Rt △BFA 中，DE=BF ，AB=CD ，∴Rt △DEC ≌Rt △BFA ，∴∠C=∠A ，∴AB ∥CD ．47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD【待定】48、 (10分)如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.结论：CE>DE 。