旋转及综合专题一、旋转相关定义*1、定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、如果图形上的点P经过旋转变为P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；}（3）旋转前、后图形全等。
4、把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。
5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。
/6、把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
二、旋转相关结论如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转角到ABC。
点B和点B为对应点，点C 和C为对应点。
结论1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线均经过旋转中心。
如图，线段BB的垂直平分线l、线段CC的垂直平分线l都经过旋转中心点A。
利用这个结论我们可以利用对应点坐标求出旋转中心的坐标。
由于对应点所连线段的垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后联立即可求出旋转中心坐标。
结论2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角。
如图，ABB和ACC均为等腰三角形，BAB CAC。
结论 3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。
如图， BAB ∽ CAC 。
结论 4：旋转前、后图形全等。
如图， ABC ABC 。
示例 1：已知A (3,2) 、O (0,0) ，将线段OA 绕点 P 旋转得到线段OA ，其中O (1,1) 、A (3,4) ，O 为点O 的对应点， A 为点 A 的对应点，求点 P 的坐标。
分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段 A A 和线段 O O 的解析 式，然后联立即可求出点 P 的坐标。
解析：∵ A (3,2) ， A (3,4) ∴直线 A A : x 3∴直线 A A 的垂直平分线l : y1∵ O (0,0) ，O (1,1) ∴直线OO : y x ∴直线OO 的垂直平分线l : yx 1点 P 为 l 与 l 的交点，联立：11y y x =-⎧⎨=-⎩，可得： P (0,1) 。
∴点 P 的坐标为 P (0,1) 。
附：在直角坐标系中求线段的垂直平分线的方法（必须掌握知识点） 已知点 A ( x 1 , y 1 ) 和点 B ( x , y ) ，求线段 A B 的垂直平分线l 。
处理方法如下：第一步：根据点 A ( x 1 , y 1 ) 和点B ( x 2 , y 2 ) 的坐标首先求出直线 A B 的解析式：l 1 : y k 1 x b 1 。
第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y k 2 x b 2 。
以为 l 2 l 1 ，所以 k k1 ，从而求出k11k ，因此线段 A B 的垂直平分线l 的解析式转化为：211y x b k =-+第三步：根据中点坐标公式直接写出线段 A B 中点 M (122x x +,122y y +) 。
分析：既然直线l 为线段 A B 的垂直平分线，所以直线l 经过线段 A B 的中点，也即线段 A B 的中点在直线 l 上。
第四步：将线段A B 的中点 M (122x x +,122y y +)代入 l : 211y x b k =-+中求出 b 的值。
最后将b 2 的值代入211y x b k =-+中即可求出线段 A B 的垂直平分线的解析式。
示例：已知点 A (2,4) 和点 B (2,2) ，求线段 A B 的垂直平分线 l 。
处理方式如下： 第一步：由点 A (2,4) 和点 B (2,2) ，可得直线 A B 的解析式 l : y12x 3 。
第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为：l : y k 2 x b 2 。
以为 l 2 l ，所以k k 1 ，从而求出k 2 ，因此线段 A B 的垂直平分线 l 的解析式转化为：l : y 2 xb。
2第三步：由点A(2,4) 和点B(2,2) ，可得线段A B 的中点M(0,3) 。
第四步：将点M(0,3) 代入l: y 2x b2 中可得b2 3。
因此，最终可得线段A B 的垂直平分线为l: y 2x 3 。
提醒：处理方法需要牢记，另外计算的时候要格外细心，千万不要算错了！三、点绕点旋转90问题此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应点坐标。
示例：将点A(3,4)绕点P(1,1) 逆时针旋转90，求点A的对应点A的坐标。
分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段的夹角。
因此有P A P A。
由于旋转角为90，即AP A 90，因此我们可以就斜边P AP A，以平行于坐标轴的线段构造两个直角三角形。
很显然，这两个直角三角形时全等三角形。
然后利用直角边线段长度关系即可求出点A的坐标。
解析：如图，过点P作直线l 平行于x轴交y轴于点B，过点A作A M l 于M，过点A作A N l于N。
易证AMP PNA（A SA），则有：A M PN ，P M A N 。
∵A(3,4)，P(1,1) ∴A M 3，P M 2，P B 1∴N(2,1)∴A(2,3) 。
四、旋转示例解析（理解如何利用线段旋转带动线段所在三角形旋转）在解决旋转相关题型时，最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合，从而利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，进而构造全等三角形，再利用旋转知识解决相关问题。
因此，在处理此类题型时，同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰三角形，尤其注意等腰直角三角形、等边三角形、正方形、顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形时，同学可以考虑以下利用旋转来解题。
以下通过一些实例来帮助同学们理解如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。
例1：已知如图ACB ，ACB 90，A C AB ，P A 3 ，P C 2，P B 1，求BPC 的度数分析：这里明显可以判断ACB 为等腰直角三角形，因此可以利用将其中一腰旋转至与另一腰重合，构造全等三角形。
图（1）图（2）解析：图（1）中是将等腰直角三角形ACB 的一腰A C 绕点C逆时针旋转90与另一腰B C 重合，从而带动CAP 逆时针旋转90至CBH ，可得：CAP CBH ，CP CH，HCP 90，P A BH 3∴CPH 45，P H 2PC 22∴P H PB BH∴HPB 90∴BPC 135图（2）中是将等腰直角三角形ACB 的一腰B C 绕点C顺时针旋转90与另一腰A C 重合，从而带动CPB 逆时针旋转90至CHA ，可得CPB CHA，可得CHP 45，再利用勾股定理证PHA 90即可。
例2：已知，如图所示，等腰R t ACB ，ACB 90，D为ACB 外一点，且满足ADC 45，A D 3，CD4，求B D 的值分析：这里已知等腰R t ACB ，可以将等腰Rt ACB 的一腰B C 顺时针旋转90与另一腰A C 重合，从而带动DCB 顺时针旋转90至HCA 。
解析：将DCB 绕点 C 顺时针旋转90至HCA 。
则有，DCB HCA ，D C HC，DCH 90，HDC 45，DH 2DC 42又∵ADC 45∴HDA 90，最后利用勾股定理可以求出A H 的值，也即B D 的值。
例3：已知如图，ABC 为等边三角形，P A 7，P B 3，P C 2，求APC 的度数分析：这里已知ABC 为等边三角形，符合旋转条件，可以将ABC 一边A C 顺时针旋转60与另一边A B 重合解析：将APC 绕点A顺时针旋转60至AHB ，则APC AHB，AP AH，HAP 60，PC HB 2∴AHP 为等边三角形∴H P P A 7∴H B HP PB∴BHP 90∴APC AHB 150。
例4：已知如图，四边形A BCD ，ADC 60，ABC 30，且A D AC ，求证：AB BC BD。
分析：这里实际可知ADC 为等边三角形，满足旋转条件。
解析：将ADB 绕点A逆时针旋转60至ACH 。
可得ABH 为等边三角形，又∵ABC 30从而可得CBH 90，直角三角形就可以使用勾股定理了。
例5：如图，已知等边ABC ，点D为ABC 外一点，且满足BDC 120，试问，BD，DA，DC是否有确定的数量关系分析：这里ABC 为等边三角形，满足旋转条件。
解析：将ABD 绕点A 逆时针旋转60至ACH 。
则有，ABD ACH ，ABD ACH 。
ADH 为等边三角形∴D A DH∵BDC 120，BAC 60∴ABD ACD 180∴ACH ACD 180∴ D ，C ，H 三点共线（必须证三点共线，否则扣分）∴ D A DC DB 。
变式拓展：如图已知等边 ABC ，点 D 为 ABC 外一点，但 BDC 大小不确定，BD 3 ，DC 4 ，试问 D A 的最大值为多少分析：这里 ABC 为等边三角形，满足旋转条件。
解析：将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 ACH 。
则有， ABD ACH ， ADH 为等边三角形∴ C H BD 3 ， DADH∵ D H DC CH∴ D A 7 。
∴ D A DC CH例 6：如图，已知正方形 A BCD ， E 为正方形 A BCD 外一点， A E 22， D E1 ，求 C E 的最大值分析：这里出现了正方形 A BCD （正方向可以看成是两个 等腰直角三角形组合而成），符合旋转条件。
解析：将 EDC 绕点 D 顺时针旋转90至 HDA ，则有：EDC HDA ，CEAH ， D E DH ， EDH90∴ E H 2DE 2 ∴ A H AE EH 222 3 2∴ C E 2五、旋转相似旋转相似是比较难的一种变换模式，难就难在不易发觉更不易构造，掌握起来比较难。
两个相似三角形绕某一点旋转，必然出现一对新的相似三角形。
如图， ABC ∽ ABC ，则有 ABB ∽ ACC 。
证 明 ： ∵ ABC ∽ ABC ∴ BAC BAC ，BAB CAC ∵ ABC ∽ ABC∴11BA CAB AC A =∴11B ABA CA C A=∴ ABB ∽ ACC例 1：如图，已知 ABC 为等边三角形， D 为 A B 的中点， D E1 ， E A2 ，求CE 的最大值分析： ABC 为等边三角形， D 为 A B 的中点，则ACD 30 ， ADC 为直角三角形，可以利用这个 ACD30 特殊角进行构造相似三角形。