初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键•通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段.几何最值问题中的基本模型举例1如图：点P是/ AOB^—定点，点M N分别在边OA 0B上运动，若/ AOB45° OP=3^2，则△ PMN 的周长的最小值为 _____________________ •【分析】作P关于OA OB的对称点C, D.连接OC OD则当M N是CD与OA OB的交点时，△ PMN勺周长最短，最短的值是CD的长•根据对称的性质可以证得：△COD1等腰直角三角形，据此即可求解.【解答】解：作P关于OA OB的对称点C, D.连接OC OD则当M N是CD与OA OB的交点时，△ PMN 的周长最短，最短的值是CD勺长.•/ PC关于OA寸称，:丄 COP2Z AOP OCOP同理，/ DOP2Z BOP OP=OD•••/ COD/ COP/ DOP2 (/ AOP/ BOP =2/ AOB9O° O(=OD•••△COD!等腰直角三角形.则CD：』2 OO J2 X3 2 =6.【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMt周长最小的条件是解题的关键.2 •如图，当四边形PABN勺周长最小时，a= _____________ .【分析】因为AB PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了•问题就是PA+NB什么时候最短.把B点向左平移2个单位到B'点；作B'关于x轴的对称点B〃，连接AB ,交x轴于P,从而确定N点位置，此时PA+NB最短.设直线AB的解析式为y=kx+b,待定系数法求直线解析式•即可求得a的值.【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B'( 2, - 1), 作B'关于x轴的对称点B〃，根据作法知点B〃( 2, 1), 设直线AB的解析式为y=kx+b,小1 2k b —则，解得k=4, b= - 7.3 k b••• y=4x- 7.当y=0 时，x= 7，即P ( — , 0) , a=—.4 4 4故答案填：7.4【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识.3. _____________________________________ 如图，A B两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM=4,点B到直线的距离BN=1，且MN4, P为直线上的动点，| PA- PB的最大值为.【分析】作点B于直线I的对称点B',贝U PBPB因而| PA- PB=| PA- PB |，则当A, B'、P在一条直线上时，| PA- PB的值最大.根据平行线分线段定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得PAPB 的值，进而求得| PA- PB 的最大值.【解答】解：作点B于直线I的对称点B',连AB并延长交直线I于P.•B N=BN=1,过D点作B D丄AM利用勾股定理求出AB =5•I PA- PB的最大值=5.【题后思考】本题考查了作图-轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.4. _______________________________________________ 动手操作：在矩形纸片ABCD中, AB=3, AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ当点A在BC边上移动时，折痕的端点P Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为.【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA'取最大或最小值时，点P或Q的位置.经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA取最大值3和当点Q与D重合时，BA的最小值1.所以可求点A在BC边上移动的最大距离为2.【解答】解：当点P与B重合时，BA取最大值是3,当点Q与D重合时(如图)，由勾股定理得A' C=4，此时BA取最小值为1. 则点A'在BC边上移动的最大距离为3-仁2.故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误.5. _____________________________________________________________________________ 如图，直角梯形纸片ABCD AD丄AB AB=8, AD=CD=4,点E、F分别在线段AB AD上，将△ AEF沿EF 翻折，点A的落点记为P.当P落在直角梯形ABCD^部时，PD的最小值等于_______________________________________ .【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BDh时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决.【解答】解：如图，•••当点P落在梯形的内部时，/ P=Z A=90°•四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，•••只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8,由勾股定理得：BD=82+62=80,•BD=4.5 ,•PD=4.5 8 .【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动.6.如图，/ MON90。
，矩形ABCD勺顶点A B分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM 上运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 ,B(=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ________________ .【分析】取AB的中点E,连接OD OE DE根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=^AB利用勾股定理列式求出DE然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大.【解答】解：如图，取AB的中点E,连接OD OE DE•••/ MON9O° AB=21••• OE=AE=^AB=1,2•/ BC=1，四边形ABCD!矩形，•• AD=BC=1,• DE=,根据三角形的三边关系，ODc OEOE•••当OD过点E是最大，最大值为,2 +1.故答案为：'一2 +1.【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键.7.如图，线段AB的长为4, C为AB上一动点，分别以AC BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ ACD和等腰直角△ BCE那么DE长的最小值是____________________ .【分析】设ACx, BC=4 - x,根据等腰直角三角形性质，得出CD=V2X, CD=J2 ( 4-x),根据勾股定理然后用配方法即可求解.【解答】解：设AC=x, BC=4- x,•••△ ABC △ BCD均为等腰直角三角形,•••/ ACD45。
，/ BCD =45°•••/ DCE90。
，• D E=CD+CE=1X2+1 (4 - x) 2=x2- 4x+8= (x - 2) 2+4,2 2•••根据二次函数的最值，•••当x取2时，DE取最小值，最小值为：4.故答案为：2.【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值.&如图，菱形ABCDK AB=2，/ A=120°,点P, Q K分别为线段BC CD BD上的任意一点，贝U PK+QK 的最小值为 _______________________ .【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P',连接P Q与BD的交点即为所求的点K,然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P' QL CD时PK+QK的最小值，然后求解即可.【解答】解：如图，••• AB=2,Z A=120°,•••点P'到CD的距离为2X二色=.3 , • PK+QK的最小值为.3 .故答案为：,3 .【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键.T (4-x),9•如图所示，正方形 ABC 啲边长为1，点P 为边BC 上的任意一点（可与 B 、C 重合），分别过BCD 作 射线AP 的垂线，垂足分别为 B'、C'、D',则BB +CC +DD 的取值范围是【分析】 首先连接AC DP 由正方形 ABC ［的边长为1,即可得：S ADR =1 S 正方形ABCD =1 , S X ABP +S X AC 产&AB （=^ S2 2 2•/ K ARC 2 , •••当P 与B 重合时，有最大值 2;当P 与C 重合时，有最小值.2 ••• ..2 C BB +CC +DD C 2.故答案为：,2 C BB +CC +DD C 2.【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题.根据题意得到 & ADP +S A ABP +S ^ACR =1，继而得到 BB' +CC +DD = AP10.如图，菱形 ABCDK / A =60°, AB=3,O A 、O B 的半径分别为 2和1, P E 、F 分别是边 CD O A 和 O B 上的动点，贝U PE^PF 的最小值是 ____________________ .【分析】禾U 用菱形的性质以及相切两圆的性质得出 P 与D 重合时PEnPF 的最小值，进而求出即可.【解答】解：由题意可得出：当 P 与D 重合时，E 点在AD 上, F 在BD 上，此时P 曰PF 最小，连接BD•••菱形 ABCDK / A =60°,• AB=AD 则厶ABD 是等边三角形，BD =AB=AC =3,TO A 、O B 的半径分别为2和1,• PE=1, DF=2,• PE^PF 的最小值是3.故答案为：3.【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识， 根据题意得出P 点位置是解题关键. 1 1正方形 ABC =，继而可得一AP ? ( BB +CC + DD ) =1, 2 2 【解答】解：连接AC DP.•••四边形ABCDI 正方形，正方形 ABC 啲边长为1,• AB=CD S 正方形ABC =1 ,11 ■/ S X AD = S 正方形 ABC = ,2 2 • S X ADP +S X ABF + S X ACF =1 , 11 • - AF ?BB + — AF ?CC2 2 又由KAM2，即可求得答案. 1 S ABP +S X AC =S X ABC = S 正方形 ABCD =_ ,2 1 1 + — AF ?DD 二一AF ? (BB +CC +DD 2 22贝U BB +CC +DD =, AP)=1, 此题难度较大，解题的关键是连接 AC DP 2。