1
在E ~ E dE空间的状态数等于k空间所包含的 状态数。 即d z g (k ' ) Vk ' g (k ' ) 4k ' dk 2(m m m ) 13 2 1 dz ' t t l ( E Ec ) 2 V g (E) 4 2 dE h 对于si导带底在100个方向，有六个对称的旋转椭球， 锗在（ 111 ）方向有四个，
(2)m
* nC
2 2 d EC dk 2
3 m0 8
3 k k1 4
* (3)mnV
2 d 2 EV dk 2

k 01
m0 6
(4)准动量的定义：p k 所以：p (k )
3 k k1 4
3 (k ) k 0 k1 0 7.95 10 25 N / s 4
r0 r
h 2 0 0.053nm q 2 m0 h 2 0 r m0 r r0 60nm * * q 2 mn mn
8. 磷化镓的 禁带宽 度 Eg=2.26eV ，相对 介电常数 r=11.1 ， 空 穴的有效质量 m*p=0.86m0,m0 为电子的惯性质量，求①受主杂质电离能；②受主束缚的空穴的 基态轨道半径。
第三章习题
1. 计算能量在 E=Ec 到 E E C 解：
g ( E ) 4 (
100h 2 之间单位体积中的量子态数。 2 8m * nL
1 * 3 2m n 2 2 ) ( E E ) V C 2 h dZ g ( E )dE
单位体积内的量子态数Z 0
Ec 100h 2
2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6） 。
2.证明：si、Ge 半导体的E（IC） ~ K关系为 E（ EC C k）
' x 2 2 h 2 k x k y k z2 ( ) 2 mt ml
1 1 ma ma m 1 ' 2 令k ( ) k x , k y ( ) 2 k y , k z' ( a ) 2 k z mt mt ml
5. 举例说明杂质补偿作用。 当半导体中同时存在施主和受主杂质时， 若（1） ND>>NA 因为受主能级低于施主能级， 所以施主杂质的电子首先跃迁到 NA 个受主能级上， 还有 ND-NA 个电子在施主能级上，杂质全部电离时，跃迁到导带中的导电电子 的浓度为 n= ND-NA。即则有效受主浓度为 NAeff≈ ND-NA （2）NA>>ND 施主能级上的全部电子跃迁到受主能级上，受主能级上还有 NA-ND 个空穴， 它们可接受价带上的 NA-ND 个电子，在价带中形成的空穴浓度 p= NA-ND. 即有效受 主浓度为 NAeff≈ NA-ND （3）NAND 时， 不能向导带和价带提供电子和空穴， 6. 说明类氢模型的优点和不足。 称为杂质的高度补偿
5. 利用表 3-2 中的 m*n，m*p 数值，计算硅、锗、砷化镓在室温下的 NC , NV 以及本征 载流子的浓度。
3 2koTmn 2 ) N C 2( 2 h 2koTm p 32 5 N v 2( ) h2 Eg 1 2 koT 2 n i ( N c N v ) e Ge : mn 0.56m0 ; m p o.37 m0 ; E g 0.67ev si : mn 1.08m0 ; m p o.59m0 ; E g 1.12ev Ga As : mn 0.068m0 ; m p o.47 m0 ; E g 1.428ev
7. 锑化铟的禁带宽度 Eg=0.18eV，相对介电常数r=17，电子的有效质量
m* n =0.015m0, m0 为电子的惯性质量，求①施主杂质的电离能，②施主的弱束
缚电子基态轨道半径。
解：根据类氢原子模型：
* 4 * mn q mn E0 13.6 E D 0.0015 2 7.1 10 4 eV 2 2 2 m0 r 2(4 0 r ) 17
解： （1）由
dE (k ) n 0 得 k dk a
（n=0，1，2…） 进一步分析 k (2n 1)

a
，E（k）有极大值，
E（k ) MAX
k 2n
2 2 ma 2

a
时，E（k）有极小值
所以布里渊区边界为 k (2n 1)

a
(2)能带宽度为 E（k ) MAX E (k ) MIN (3）电子在波矢 k 状态的速度 v （4）电子的有效质量
2. 晶格常数为 0.25nm 的一维晶格，当外加 102V/m，107 V/m 的电场时，试分别计 算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 解：根据： f qE h
பைடு நூலகம்k t
得 t
k qE
t1
(0 1.6 10

a
) 10 ) 10
7 2
19
8.27 10 8 s

a
, a 0.314nm。试求：
（2）导带底电子有效质量; （3）价带顶电子有效质量; （4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化 解： （1）
导带： 由 2 2 k 2 2 ( k k 1 ) 0 3m0 m0
3 k1 4 d 2E 2 2 2 2 8 2 又因为： 2 c 0 3m0 m0 3m0 dk 得：k 所以：在k 价带： dEV 6 2 k 0得k 0 dk m0 d 2 EV 6 2 又因为 0, 所以k 0处，EV 取极大值 m0 dk 2 2 k12 3 因此：E g EC ( k1 ) EV (0) 0.64eV 4 12m0 3 k处，Ec取极小值 4
2 8 mn l
dZ V
1 * 3 2m n 2 2 ) ( E E ) dE C h2
Ec
100h 2
2 8 mn l
1 Z0 V
EC
g ( E )dE
EC

4 (
100h 2 * 3 E 3 2 2m n 2 c 2 4 ( 2 ) 2 ( E EC ) 8mn L 3 h Ec 1000 3L3
则：E c (k ' ) E c
2 h2 '2 '2 (k x ky k z' " ) 2m a
在k '系中, 等能面仍为球形等能面 m m m t l 在k '系中的态密度g (k ' ) t 3 ma 1 k' 2m a ( E EC ) h 2 V
补充题 2 一维晶体的电子能带可写为 E（k ) 式中 a 为 晶格常数，试求 （1）布里渊区边界； （2）能带宽度； （3）电子在波矢 k 状态时的速度；
* （4）能带底部电子的有效质量 mn ；
2 7 1 ( cos ka cos 2ka) ， 2 8 ma 8
（5）能带顶部空穴的有效质量 m * p
解：根据类氢原子模型： E A
* 4 * E0 mP q mP 13.6 0.086 0.0096eV 2 2 2 m0 r 2(4 0 r ) 11.12
r0
h 2 0 0.053nm q 2 m0
h 2 0 r m0 r r 2 * * r0 6.68nm q m P mP
（a）(100)晶面
（b）(110)晶面
（c）(111)晶面
1 1 4 2 2 （ 100）： 2 4 2 6.78 1014 atom / cm 2 a a (5.43 10 8 ) 2 1 1 2 4 2 4 2 4 9.59 1014 atom / cm 2 （ 110）： 2a a 2a 2 1 1 4 2 2 4 2 （ 111 ）： 4 7.83 1014 atom / cm 2 3 3a 2 a 2a 2
* mn
2 2 ma 2
1 dE 1 (sin ka sin 2ka) dk ma 4
2 m 2 1 d E (cos ka cos 2ka) 2 dk 2
能带底部 k
2n a
所以 mn 2m
*
(5)能带顶部 k 且 m p mn ，
* *
(2n 1) ， a
费米能级
费米函数
1 E EF 1 e k 0T
玻尔兹曼分布函数
E EF
1.5k0T 4k0T 10k0T
f (E)
f (E) e

E EF k0T
0.182 0.018
0.223 0.0183
4.54 10 5
4.54 10 5
4. 画出-78oC、室温（27 oC） 、500 oC 三个温度下的费米分布函数曲线，并进行比 较。
3 1 2m n g ( E ) sg ( E ) 4 ( 2 ) 2 ( E E c ) 2 V h ' mn s 2 3 3 2
m m
2 t l
1
3
3. 当 E-EF 为 1.5k0T，4k0T, 10k0T 时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数 计算电子占据各该能级的概率。
第一章习题
1．设晶格常数为 a 的一维晶格，导带极小值附近能量 Ec(k)和价带极大值附近 能量 EV(k)分别为：
h 2 k 2 h 2 (k k1 ) 2 h 2 k 21 3h 2 k 2 Ec= , EV (k ) 3m0 m0 6m0 m0
m0 为电子惯性质量，k1
（1）禁带宽度;