《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业
一、判断下列命题的正误
1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤. (正确)
2. 收敛数列必有界. (正确)
3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. (错误) 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. (正确)
5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确)
二、选择题
1．设2,1()3,
1
x x f x x x -≤⎧=⎨
->⎩, 则 [(1)]f f =(
A ) .
A 3- ；
B 1- ；
C 0 ；
D 2
2．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列
}{n x 收敛于a 的（ A ）.
A 充分必要条件；
B 充分条件但非必要条件；
C 必要条件但非充分条件；
D 既非充分又非必要条件
3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个；
C 必定有无穷多个 ；
D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）．
A 收敛；
B 发散；
C 是无穷大；
D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞
→||lim ，则 （ C ）
A 数列}{n x 收敛；
B a x n n =∞
→lim ；
C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散；
D a x n n -=∞
→lim ；
6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ C ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值；
B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值；
C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；
D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值
7．下列极限正确的是（ D
）
A 0
1lim sin
1x x x
→=； B sin lim
1x x x
→∞
=； C 1lim sin
0x x x
→∞
=； D 0
1lim
sin 1x x x
→=
8． 1
1
21
lim
21
x x x →-=+（ D ）
A 0；
B 1 ；
C 1- ；
D 不存在
三、计算题
1．求极限 90
20
70
)
15()
58()63(lim
--++∞
→x x x x .
解：90
20
70
90
20
70
90
20
70
5
8
3
155863lim
)
15()
58()
63(lim
⋅=
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+=--++∞
→+∞
→x x x x x x x x
2．求极限 21
1lim (
)
2
x x x x +→∞
+-.
解： 21
1lim (
)
2
x x x x +→∞
+=-21111lim 22
11x
x x x x x →∞
⎛⎫
⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝⎭
⎝⎭211lim 21x
x x x →∞⎛
⎫
+
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
2
(4)
2
1[(1)]
lim
2[(1)
]
x x x x x
→∞
-
-+
-
2
6
4
e e e
-==
3．求极限2
2
2
111lim (
)12n n n n n n n n →∞
+
++
++++++ .
解：因
2
2
2
2
11
1
1n
n n n n
n n n n n
n n ≤
++
≤
++++++++
22
lim
lim
11
n n n n n n n n n →∞
→∞
==++++，
故 2
2
2
1
1
1
lim (
)11
2
n n n n n n n n
→∞
+
++
=++++++
4．考察函数),(,
lim
)(+∞-∞∈+-=--∞
→x n
n n n x f x
x
x x n 的连续性.若有间断点指出其类型.
解：当0x <时，有221()lim
lim
11
x x x x
x
x
n n n n n f x n n
n
--→∞
→∞
--===-++；同理当0x >时，有()1f x =。

而(0)0f =，所以1,0
()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪
===⎨⎪>⎩。

所以0是f 的跳跃间断点
四、证明题
设a a n n =∞
→lim ，b b n n =∞
→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有
n n b a <.
证 由b a <，有b b
a a <+<
2
. 因为2lim b
a a a n n +<
=∞
→，由保号性定理，存在01>N ， 使得当1N n >时有2
b a a n +<。

又因为2
lim b a b b n n +>
=∞
→，所以，又存在02>N ，使得
当2N n >时有2
b a b n +>
. 于是取},max{21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<
2。