高考数学专题讲解：复数第一部分：n i 和ni 1的题型【题型一】：计算n i 。

第一种类型：当n 为偶数时： 2222)(n nni ii ==⨯，2222)1()(1n n ni i i -==⇒-=。

第一种：当2n为奇数：1)1(1)1(22-=-=⇒-=-nn ni 。

第二种：当2n为偶数：1)1(1)1(22=-=⇒=-nn ni 。

第二种类型：当n 为奇数时： i i i ii ii n n n n⨯=⨯=⨯=--⨯-2122121)(，i i i i i n n n ⨯-=⨯=⇒-=--212122)1()(1。

第一种：当21-n 为奇数：i i i i n nn -=⨯-=⨯-=⇒-=---1)1(1)1(2121。

第二种：当21-n 为偶数：i i i i n nn =⨯=⨯-=⇒=---1)1(1)1(2121。

例题一：化简：2020i 。

本题解析：1)1()(101010102101022202022020=-====⨯⨯i i ii。

例题二：化简：999i 。

本题解析：i i i i i i i i ii ii-=⨯-=⨯-=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯⨯1)1()(4994992499229982998999。

【训练】：化简下列复数关系式。

（Ⅰ）1482i ；（Ⅱ）383i ；（Ⅲ）1405i ；（Ⅳ）88i 。

【训练参考答案】：（Ⅰ）1)1()(741741274122148221482-=-====⨯⨯i i ii ；（Ⅱ）i i i i i i i i ii ii-=⨯-=⨯-=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯⨯1)1()(1911912191223822382383；（Ⅲ）i i i i i i i i ii ii=⨯=⨯-=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯⨯1)1()(7027022702221404214041405；（Ⅳ）1)1()(44442442288288=-====⨯⨯i i ii 。

【题型二】：计算n i1。

第一种类型：当n 为偶数时：2222)(111n n n i i i ==⨯，12-=i 222)1(1)(11n n ni i -==⇒。

第一种：当2n 为奇数：111)1(111)1(22-=-=-=⇒-=-nn ni。

第二种：当2n 为偶数：111)1(11)1(22==-==⇒-nn ni。

第二种类型：当n 为奇数时：2122121)(1++⨯+===⋅=n n n n n i i ii ii i i i i ，212122)1()(11++-==⇒-=n n n i i i ii 。

第一种：当21+n 为奇数：i ii in n n -=-=-=⇒-=-++1)1(11)1(2121。

第二种：当21+n 为偶数：i iiin n n ==-=⇒=-++1)1(11)1(2121。

例题一：化简：20191i 。

本题解析：i ii i i i i ii i i ii ii ==-=====⨯=⨯⨯1)1()(110101010210102220202202020192019。

例题二：化简：1001i 。

本题解析：111)1(1)(11115050250221002100==-====⨯⨯i i ii 。

【训练】：化简下列复数关系式。

（Ⅰ）10011i ；（Ⅱ）3831i ；（Ⅲ）2841i ；（Ⅳ）501i 。

【训练参考答案】：（Ⅰ）i ii i i i i iii i ii i i -=-=-=====⨯=⨯⨯1)1()(150150125012210022100210011001； （Ⅱ）i ii i i i i i i i i i i i i ==-=====⨯=⨯⨯1)1()(11921922192223842384383383； （Ⅲ）111)1(1)(11111421422142222842284==-====⨯⨯i i ii 。

（Ⅳ）111)1(1)(111125252252250250-=-=-====⨯⨯i i i i 。

第二部分：三类化简【第一类化简】：完全平方化简 【题型一】：化简：2)(bi a +。

【解法设计】：)1(22)(2)(22222222-⨯++=++=+⨯⨯+=+b abi a i b abi a bi bi a a bi aabi b a b abi a 2)(22222+-=-+=。

实部：22b a -，虚部：ab 2。

【题型二】：化简：2)(bi a -。

【解法设计】：)1(22)(2)(22222222-⨯+-=+-=+⨯⨯-=-b abi a i b abi a bi bi a a bi aabi b a b abi a 2)(22222--=--=。

实部：22b a -，虚部：ab 2-。

例题一：化简：2)1(i +。

本题解析：i i i i i i i 2)1(2121121)1(2222=-++=++=+⨯⨯+=+。

实部：0，虚部：2。

例题二：化简：2)32(i --。

本题解析：i i i i i i i i 1259124)1(91249124)3(3)2(2)2()32(2222+-=-+=-⨯++=++=+⨯-⨯--=--。

实部：5-，虚部：12。

【训练】：化简。

（Ⅰ）2)1(i -；（Ⅱ）2)2(i +-；（Ⅲ）2)34(i -；（Ⅳ）2)221(i +。

【训练参考答案】：（Ⅰ）i i i i i 2)1(21121)1(222-=-+-=+⨯⨯-=-。

实部：0，虚部：2-。

（Ⅱ）i i i i i i i 43)1(4444)2(2)2()2(2222-=-+-=+-=+⨯-⨯+-=+-。

实部：3，虚部：4-。

（Ⅲ）i i i i i i i i 24792416)1(9241692416)3(3424)34(2222-=--=-⨯+-=+-=+⨯⨯-=-。

实部：7，虚部：24-。

（Ⅳ）i i i i i i i i 24154241)1(42414241)2(2212)21()221(2222+-=-+=-⨯++=++=+⨯⨯+=+。

实部：415-，虚部:2。

【第二类化简】：乘法化简【题型一】：化简：))((di c bi a ++。

【解法设计】：bd i bc ad ac bd i bc ad ac bdi bci adi ac di c bi a -++=-⨯+++=+++=++)()1()())((2i bc ad bd ac )()(-+-=。

实部：bd ac -，虚部：bc ad -。

【题型二】：化简：)(ci b ai +。

【解法设计】：adi ac ac abi ac abi aci abi ci b ai +-=-=-⨯+=+=+)1()(2。

实部：ac -，虚部：ad 。

【题型三】：化简：))((bi a bi a -+。

【解法设计】：根据平方差公式得到：222222222)1()())((b a b a i b a bi a bi a bi a +=-⨯-=-=-=-+。

实部：22b a +，虚部：0。

例题一：化简：)2)(21(i i +-。

本题解析：i i i i i i i i 34232)1(232242)2)(21(2-=+-=-⨯--=--+=+-。

实部：4，虚部：3-。

例题二：化简：)32(i i +-。

本题解析：i i i i i i i 2332)1(3232)32(2-=+-=-⨯--=--=+-。

实部：3，虚部：2-。

例题三：化简：)21)(21(i i -+。

本题解析：45141)1(41)21()21)(21(22=+=--=-=-+i i i 。

实部：45，虚部：0。

【训练】：化简。

（Ⅰ）)1)(1(i i -+；（Ⅱ）)1)(32(i i -+-；（Ⅲ）)1(3i i --；（Ⅳ）)1)(23(i i +-。

【训练参考答案】：（Ⅰ）211)1(11)1)(1(22=+=--=-=-+i i i 。

实部：2，虚部：0。

（Ⅱ）i i i i i i i i 51352)1(3523322)1)(32(2+=++-=-⨯-+-=-++-=-+-。

实部：1，虚部：5。

（Ⅲ）i i i i i i i 3333)1(3333)1(32--=--=-⨯+-=+-=--，实部：3-，虚部：3-。

（Ⅳ）i i i i i i i i i i +=++=-⨯-+=-+=--+=+-523)1(23232233)1)(23(22。

实部：5，虚部：1。

【第三类化简】：除法化简 【题型一】：化简：bia dic ++。

【解法设计】：222222)1()()())(())((i b a bd i bc ad ac bi a bdi adi bci ac bi a bi a bi a di c bi a di c --⨯--+=--+-=-+-+=++ i b a bc ad b a bd ac b a i bc ad bd ac b a bd i bc ad ac 22222222)()()1()(+-+++=+-++=-⨯-+-+=。

实部：22b a bd ac ++，虚部：22b a bcad +-。

【题型二】：化简：aicib +。

【解法设计】：i aba c a bi a c a c bi a c bi ai ci bi i ai i cib ai ci b -=-+--=--=-⨯-⨯+=+=⋅+=+)1()1()(22。

实部：a c ，虚部：ab-。

例题一：化简：ii321+-。

本题解析：135194352)1(94)1(35294352)3(23232)32)(32()32)(1(32122222ii i i i i i i i i i i i i i i --=+--=-⨯--⨯+-=-+-=-+--=-+--=+- i 135131--=。

实部：131-，虚部：135-。

例题二：化简：ii221-+。

本题解析：i i i i i i i i i i i i i 21122222)1(2)1(2222)21(22122+-=+-=-=-⨯--⨯+=-+=⨯-⨯+=-+。

实部：1-，虚部：21。

【训练】：化简。

（Ⅰ）i i -+2；（Ⅱ）i i +-22；（Ⅲ）i i 23-+；（Ⅳ）ii 21-。

【训练参考答案】：（Ⅰ）i i i i i i i i i i i i 21112)1()1(22)2(222+-=-=---+=-+=⨯-⨯+=-+。

实部：1-，虚部：2。

（Ⅱ）i i i i i i i i i i i i 5453543)1(4)1(44244)2)(2()2)(2(22222-=-=---+-=-+-=-+--=+-。