一、复数的概念1.虚数单位i:(1)它的平方等于1-，即2i 1=-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3)i 与－1的关系:i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i. (4)i 的周期性：41i i n +=, 42i 1n +=-, 43i i n +=-, 4i 1n =.2．数系的扩充：复数(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3.复数的定义：形如i(,)a b a b +∈R 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C 表示4.复数的代数形式:复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式.5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0知识内容复数6.复数集与其它数集之间的关系：N ZQ RC 苘苘7.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+⇔a c =,b d =二、复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：复数i(,)z a b a b =+∈R 与有序实数对(),a b 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i(,)z a b a b =+∈R 可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()0,0，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3.复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b .三、复数的四则运算1.复数1z 与2z 的和的定义：12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++2.复数1z 与2z 的差的定义：12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+-3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+4.复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++5.乘法运算规则：设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 6.乘法运算律：(1)()()123123z z z z z z = (2)123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ (3)()1231213z z z z z z z +=+ 7.复数除法定义：满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数i x y +(x 、y ∈R )叫复数i a b +除以复数i c d +的商，记为：()(i)i a b c d +÷+或者iia b c d ++ 8.除法运算规则：设复数i a b + (a 、b ∈R )，除以i c d + (c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()i i i x y c d cx dy dx cy ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y dc bd ac x于是有: ()(i)i a b c d +÷+2222i ac bd bc adc d c d+-=+++ ②利用()()22i i c d c d c d +-=+于是将iia b c d ++的分母有理化得： 原式22i (i)(i)[i (i)]()ii (i)(i)a b a b c d ac b d bc ad c d c d c d c d ++-+⋅-+-===++-+ 222222()()i i ac bd bc ad ac bd bc adc d c d c d ++-+-==++++.∴(()(i)i a b c d +÷+=2222i ac bd bc adc d c d +-+++ 点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数i c d +与复数i c d -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22i i c d c d c d +-=+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法. 9.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.<教师备案>近年来高考对复数知识的考查都比较简单，基本都在选择的前四题或者填空题的第一\二道，新课标中，文理都要学习复数，但是只学习复数的代数形式与加法乘除运算，不再学习复数的三角形式．题型一：复数的概念【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．1-【考点】复数的概念 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例2】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或1【考点】复数的概念 【难度】1星【题型】选择【关键词】2009，江西，高考【解析】 由210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩ 故选A【答案】A【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．()15，B ．()13，C ．(15，D ．(13，【考点】复数的概念 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 21z a =+02a <<，∴15z <<【答案】C【例4】若复数(2)i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = ．【考点】复数的概念 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无典例分析【解析】【答案】0【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部为 ．【考点】复数的概念 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 设1z a bi =+，则2()()z a b b a i =-+-．【答案】1【例6】复数321i +=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．1-D ．3【考点】复数的概念 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】41i =，故433221112i i i i+=+=+ 【答案】A【例7】计算：0!1!2!100!i +i +i ++i=L （i 表示虚数单位）【考点】复数的概念 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++ii i (1)(1)197952i =++-+-+⨯=+L【答案】952i +【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【考点】复数的概念 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】2222(1)10t t t -+=-+≠． 【答案】D【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =．⑥1z =的充要条件是1z z=．A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】复数的概念 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时， 22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z 为实数时，也有z z +∈R ，③错；0a b ==时， ()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．【答案】B题型二：复数的几何意义【例10】复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例12】在复平面内，复数200921i (1i)+-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 本题考查了复数的概念及运算，原式=1122i -+ 【答案】B【例13】在复平面内，复数sin2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 大小为2的角为第二象限角，故sin 20cos20><，，从而该复数在第四象限．【答案】D【例14】在复平面内，复数21i+对应的点与原点的距离是（ ）A ． 1B ．C ．2D ． 【考点】复数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例15】若复数z 满足(1)1i z ai -=+，且复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或 【考点】复数的几何意义 【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例16】已知复数z ＝3＋4i 所对应的向量为OZ uuu r ，把OZ uuu r 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ u u u r．若1OZ u u u r对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（ ）A ．3iB ．4iC ．5iD ．－5i【考点】复数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例17】复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 由已知2i (2i)(12i)1[(4)2(1)i]12i (12i)(12i)5m m z m m ---===--+++-在复平面对应点如果在第一象限，则4010m m ->⎧⎨+<⎩，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限． 【答案】A【例18】若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2007，辽宁，高考【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，cos sin 0sin cos 0θθθθ+<->，．【答案】B【例19】设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平 面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的几何意义 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->，cos()cot tan 0sin cos A B B A B A+-=<．【答案】B【例20】如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（ ）A ．1BC ．2 D【考点】复数的几何意义 【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】 设复数z 在复平面的对应点为Z ，因为i i 2z z ++-=，所以点Z 的集合是y 轴上以1(01)Z ，、2(01)Z -，为端点的线段．i 1z ++表示线段12Z Z 上的点到点(11)--，的距离．此距离的最小值为点2(01)Z -，到点(11)--，的距离，其距离为1．【答案】A【例21】满足1z =及1322z z +=-的复数z 的集合是（ ） A．1122⎧⎫⎪⎪--⎨⎬⎪⎪⎩⎭， B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭， C．⎫⎪-⎬⎪⎪⎩⎭ D．1122⎧⎫⎪⎪+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 【考点】复数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 复数z 表示的点在单位圆与直线12x =上（1322z z +=-表示z 到点102⎛⎫- ⎪⎝⎭，与点302⎛⎫⎪⎝⎭，的距离相等，故轨迹为直线12x =），故选D ． 【答案】D【例22】已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，yx的最大值为_______． 【考点】复数的几何意义 【难度】3星 【题型】填空【关键词】无【解析】2i x y -+=∵ 22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为半径的圆上，y x表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx【例23】复数z 满足条件：21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【考点】复数的几何意义 【难度】3星【题型】选择【关键词】无【解析】 A ；设i z x y =+，则有(21)2i (1)i x y x y ++=+-，2222(21)(2)(1)x y x y ⇒++=+-，化简得：22215339x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故为圆． 【答案】A【点评】①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点．【例24】复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．【考点】复数的几何意义 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ u u u u r，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ∴，故可设12(0)z ki k k z =∈≠R ，，所以2222122i 0z k k z ==-<．也可设12i i z a b z c d =+=+，，则由向量()a b ，与向量()c d ，垂直知0ac bd +=，122222i ()()i i 0i z a b ac bd bc ad bc ad z c d c d c d +++--===≠+++，故22112220z z z z ⎛⎫=< ⎪⎝⎭． 【答案】【例25】已知复数1z ，2z满足11z =，21z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值． 【考点】复数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z，由于2221)1)4+=，故2221212z z z z +=-，故以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r，则12z z ==；12124z z z z +=-=．【答案】；4．【例26】已知复数12z z ，满足121z z ==，且12z z -=，求证：12z z +=．【考点】复数的几何意义 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知1212z z -==，以1OZ u u u u r ，2OZ u u u ur 为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以12z z +=【答案】【例27】已知12z z ，∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -．【考点】复数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，由12z z += 1120PZ O ∠=︒（可由余弦定理得到），故1260Z OZ ∠=︒， 从而121z z -=．【答案】【例28】已知复数z 满足(23i)(23i)4z z -++-=，求d z =的最大值与最小值．【考点】复数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】设i z x y =+，则()x y ，满足方程22(2)14y x -+=．d =又13x ≤≤，故当10x y ==，时，min 1d =；当83x y ==，时，有max d =．【答案】max d =,min 1d =题型三：复数的四则运算【例29】复数31i i ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．8B ．8-C ．8iD ．8i -【考点】复数的四则运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例30】设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．1±B ．1C ．0D ．1-【考点】复数的四则运算 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】222()(12)(1)2a i i a ai i a i a +=-+=--是正实数，故210120a a a ⎧-=⇒=-⎨->⎩． 【答案】D【例31】已知复数1z i =-，则221z zz -=-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 222(1)2(1)22111z z i i i z i i-----===-----．【答案】B【例32】设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则zz 等于（ ） A ．i B ．i - C ．1±D ．i ±【考点】复数的四则运算 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 设()z a bi a b =+∈R ，，则242a a =⇒=，2282a b b +=⇒=±，于是221221z i ii z i i±±===±m m ． 【答案】D【例33】已知集合(3)(3)2i i z i+-=-，则||z =（ ）A B ．CD ．【考点】复数的四则运算【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】||z ==【答案】D【例34】已知复数12232i23i ,(2i)z z +=-=+，则12z z =（ ）A ． 49B ．7C ． 25D ． 5【考点】复数的四则运算【难度】2星【题型】选择【关键词】北京师大附中，2008-2009，期中考试【解析】【答案】D【例35】若将复数11ii+-表示为a bi +（a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a b += ． 【考点】复数的四则运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】无【解析】 因为1(1)(1)201(1)(1)2i i i ii i i i +++===+--+，所以0a =，1b =，1a b +=． 【答案】1【例36】若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．6- D ．6【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2005，天津，高考【解析】 由223i (3i)(12i)6(32)i 632i 12i (12i)(12i)1255a a a a a a++-++-+-===+++-+． 因为复数3i 12i a ++是纯虚数，所以605a +=且3205a-≠．解得6a =-．【答案】C【例37】i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ） A ．15- B ．3- C ．3 D ．15【考点】复数的四则运算 【难度】1星【题型】选择【关键词】2009，安徽，高考【解析】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-． 【答案】B【例38】设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =【考点】复数的四则运算【难度】1星【题型】选择【关键词】2008，全国二，高考【解析】【答案】 A【例39】若a 为实数，i iai 2212-=++，则a 等于（ ）A ． 2B ．－ 2C ．2 2D ．－2 2【考点】复数的四则运算 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例40】若复数z=i a 3)2(+- （R a ∈）是纯虚数，则aiia ++1= 【考点】复数的四则运算 【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】534i-【例41】定义运算(,)(,)a b c d ac cd ⊗=-，则符合条件(,12)(1,1)0z i i i +⊗+-=的复数z 的所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】D【例42】定义运算a b ad bc c d=-，则符合条件120121z i ii+=--的复数z 对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例43】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(i)(i)m n n m +-为实数的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．16 D ．112【考点】复数的四则运算 【难度】2星【题型】选择【关键词】2009，湖北，高考【解析】 因为22()()2()m ni n mi mn n m i +-=+-为实数，所以22n m =故m n =则可以取1、2⋅⋅⋅6，共6种可能，所以1166616P C C ==⋅ 【答案】C【例44】已知复数z 满足01,120082009=++=z zz ，则复数z ＝_____________【考点】复数的四则运算 【难度】3星【题型】填空【关键词】北京师大附中，2008-2009，期中考试【解析】 由题意知2008(1)1z z +=-，两边取模知11z +=，令z a bi =+，有22221(1)1a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得1,22a b =-=±，此时有31z =，从而20092z z =，2008z z =，且200920081z z ++=210z z ++=满足，故12z =-±都满足题意．【答案】i 2321±-【例45】已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（ ）A ．2- B．C．D ．4【考点】复数的四则运算 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】66366(i)(2i)8i 64i 8m m m m m m +==-=-⇒=⇒= 【答案】B【例46】4 ）A．1B．1-+ C．1-D．1-【考点】复数的四则运算 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 原式42522516(1i)1(2i)221211(2)22ωω+==-⋅===-+⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，选B ． 【答案】B【例47】12．【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 原式12121269100121511(i)=+==-+=--． 【答案】511-【例48】已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ⋅的最大值为（ ）A ．32BC．D ．3【考点】复数的四则运算 【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 12(cos i)(sin i)(cos sin 1)(cos sin )i z z θθθθθθ⋅=-+=++-==，故当sin21θ=±时， 12z z ⋅32=． 【答案】A【例49】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数） 【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由1i z =+，可知1i z =-，代入22(2)az bz a z +=+得：(1i)2(1i)a b ++-[]22(1i)a =++，即2(2)i a b a b ++-()22a =+44(2)i a -++则()222424(2)a b a a b a ⎧+=+-⎪⎨-=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．【答案】42a b =-⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩．【例50】设x 、y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y +=________． 【考点】复数的四则运算 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 由511213x y i i i +=---知，5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+， 即(525)(5415)0x y x y i +-++-=， 故525054150x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得15x y =-⎧⎨=⎩，故4x y +=． 【答案】4【例51】对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，． ⑴设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；⑵若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵z 是方程210x +=的根，∴i z =或i z =-，不论i z =或i z =-，234{i i i i }{i 1i 1}z M ==--，，，，，，． 于是2421C 3P ==．⑵取12z =-，则212z =-及31z =．于是23{}z M z z z =，，或取12z =-．（说明：只需写出一个正确答案）．【答案】⑴13；⑵12z =-．【例52】解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=．【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 错解：由复数相等的定义得2235602220x x x x x x x ⎧==⎧-+=⇒⇒=⎨⎨=-=⎩⎩或． 分析：“i i a b c d a c +=+⇔=，且b d =成立”的前提条件是a b c d ∈R ，，，，但本题并未告诉x 是否为实数．法一：原方程变形为2(5i)62i 0x x --+-=，22(5i)4(62i)2i (1i)∆=---=-=-．由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i 2x -+-==-，2(5i)(1i)22x ---==．∴原方程的解为13i x =-，22x =．法二：设i()x a b a b =+∈R ，，则有2(i)5(i)6(2)i 0a b a b a bi +-++++-=，22(56)(252)i 0a b a b ab b a ⇒---++-+-=225602520a b a b ab b a ⎧---+=⎪⇒⎨-+-=⎪⎩①②，由②得：5221b a b +=+，代入①中解得：31a b =⎧⎨=-⎩或20a b =⎧⎨=⎩，故方程的根为123i 2x x =-=，． 【答案】123i 2x x =-=，．【例53】已知21z x =+22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【考点】复数的四则运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴， 22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式恒成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩． 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【答案】112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．【例54】关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 误：∵方程有实根，22(2i)4(1i)450a a a ∆=---=-∴≥．解得aa ≤ 析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况，而该方程中2i a -与1i a -并非实数．正：设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =±． 【答案】1a =±【例55】设方程220x x k -+=的根分别为α，β，且αβ-=k 的值．【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 若α，β为实数，则440k ∆=-≥且2222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=，解得1k =-．若α，β为虚数，则440k ∆=-<且α，β共轭，2222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．综上，1k =-或3k =．【答案】1k =-或3k =．【例56】用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．【考点】复数的四则运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 1n =时，结论显然成立；若对n k =时，有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+， 则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++(cos cos sin sin )i[cos sin()sin cos ]k k k k θθθθθθθθ=-++ cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++，从而知对1n k =+，命题成立．综上知，对任意n +∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 易直接推导知：(cos isin )(cos isin )(cos()isin())(cos isin )cos0isin01θθθθθθθθ-+=-+-+=+=故有1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-．(cos isin )(cos isin )(cos()isin())n n n θθθθθθ-+=-=-+-cos()isin()cos()isin()n n n n θθθθ=-+-=-．【答案】【例57】若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=L （12n a a a ∈R L ，，，）的解，求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．【考点】复数的四则运算 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】 将解代入原方程得：11(cos isin )(cos isin )0n n n a a αααα-+++++=L ，将此式两边同除以(cos isin )n αα+，则有：12121(cos isin )(cos isin )(cos isin )0n n a a a αααααα---+++++++=L ，即121(cos isin )(cos2isin 2)(cos isin )0n a a a n n αααααα+-+-++-=L ，1212(1cos cos2cos )i(sin sin 2sin )0n n a a a n a a a n αααααα++++-+++=L L ，由复数相等的定义得12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．【答案】【例58】已知1zz -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹． 【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 法一：设i z x y =+（x y ∈R ，）， 则222i (1)i11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数， 故220(0)x y x y +-=≠，即z 的对应点的轨迹是以102⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．法二： ∵1z z -是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪--⎝⎭（0z ≠且1z ≠） ∴011z z z z +=--，∴(1)(1)0z z z z -+-=，得到22z z z =+， 设z x yi =+（x y ∈R ，），则22x y x +=（0y ≠） ∴z 的对应点的轨迹以102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．【答案】以102⎛⎫⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，．【例59】设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中A =，求12z A z A +⋅+的值．【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 121212z A z A z A z A z A z A +⋅+=+⋅+=+⋅+121212()()z A z A z z A z A z A A =++=⋅+⋅+⋅+⋅，把12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=代入上式，得2125z A z A A A A +⋅+=⋅==．【答案】5【例60】设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．【考点】复数的四则运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由题意，24z z z =⋅=，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+．设i(2222)z a b a b =+--≤≤，≤≤， 则242i 1i 221z z a b a b a -+=+-+-=-．∴当12a =时，2min 40z z -+=，此时12z =±；当2a =-时，2min410z z -+=，此时2z =-． 【答案】【例61】若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -．【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵()23i f z z z =+-，∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-，∴ 22i 63i z z +-=-设i z a b =+（a b ∈R ，），则i z a b =-，∴ 2(i)(i)6i a b a b -++=-，即3i 6i a b -=-， 由复数相等定义得361a b =⎧⎨-=-⎩，解得21a b ==，．∴2i z =+．故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．【答案】64i --【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：①设i z x y =+（x y ∈R ，）的共轭复数为z ，则2z z x +=；2i z z y -=； ②z 为实数2220z z z z z ⇔=⇔>⇔=； ③z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠；④对任意复数有z z =；1212z z z z ±=±；1212z z z z =⋅，特别地有22()z z =；1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；2z z z =⋅．⑤z z =，22z z zz ==．1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z =，121222z z z z z z -±+≤≤． 以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．【例62】已知虚数ω为1的一个立方根， 即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2ωω=，并求23111ωωω++与211ωω++的值． 【考点】复数的四则运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 法一：321(1)(1)0x x x x -=-++=，解得：1x =或12x =-±．由题意知12ω=-，证明与计算略；法二：由题意知31ω=，故有22(1)(1)010ωωωωω-++=⇒++=． 又实系数方程虚根成对出现，故210x x ++=的两根为ωω，． 由韦达定理有1ωω=321ωωωωω⇒===．22233111110ωωωωωωωω++++==++=．222111121ωωωωωωω++-====-++-+． 【答案】0；12-+【点评】利用12ω=-的性质：3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，，，210ωω++=可以快速计算一 些ω相关的复数的幂的问题．【例63】若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=L（012212n n a a a a ω+∈∈=-N R L ，，，，，，）， 求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L【考点】复数的四则运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】23201232n n a a a a a ωωωω+++++L 3647258036147258()()()a a a a a a a a a ωωωωωωωω=+++++++++++L L L2036147258()()()0a a a a a a a a a ωω=+++++++++++=L L L设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++L L L ，，， 则有20A B C ωω++=，即11022A B C ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，202)0A B CB C --⎧=⎪⎪⇒-=，解得A B C ==，即036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L ． 【答案】【例64】设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<． ⑴求z 的值及z 的实部的取值范围； ⑵设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； ⑶求2w u -的最小值．【考点】复数的四则运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴设i z a b =+，a b ∈R ，，0b ≠则22221i i i a b w a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 因为w 是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2w a =，122w a -<=<，112a -<<，所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，．⑵222211i 12i i 11i (1)1z a b a b b b u z a b a b a ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以u 为纯虚数． ⑶2222211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223431w u -⋅=-=≥． 当111a a +=+，即0a =时，2w u -取得最小值1． 【答案】⑴1z =；z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；⑶1．【例65】对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，． ⑴ 设σ是方程1x x+=M σ； ⑵设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【考点】复数的四则运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴∵σ是方程1x x+=的根，∴1i)σ=+或2i)σ=-，当1i)σ=+时，∵21i σ=，2211111()i n n n σσσσ-==． ∴11111i1i 1M σσσσσ⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭，，，i)i)i)i)⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，，当2i)σ-时，∵22i σ=-，∴2i)i)i)i)M σ⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，．∴i)i)i)i)M σ⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，；⑵∵z M ω∈，∴存在m ∈N ，使得21m z ω-=． 于是对任意n ∈N ，21(21)(21)n m n z ω---=．由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，∴z M M ω⊆．【答案】⑴i)i)i)i)M σ⎫⎪=+--+-⎬⎪⎪⎩⎭，，;⑵【例66】已知复数01i(0)z m m =->，i z x y =+和i w x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0w z z =⋅，2w z =．⑴ 试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；⑵将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点 的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；⑶是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【考点】复数的四则运算 【难度】4星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴由题设，002w z z z z z =⋅==，∴02z =，于是由214m +=，且0m >，得m ，因此由(i))i x y i x y x y ''++=+-，得关系式x x y y ⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩．⑵设点()P x y ，在直线1y x =+上，则其经变换后的点()Q x y ''，满足(11)1x x y x ⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩， 消去x ，得(22y x ''=--，故点Q 的轨迹方程为(22y x =-．⑶假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠．∵该直线上的任一点()P x y ，，其经变换后得到的点()Q x y +-仍在该直线上，()y k x b -=++，即1)(y k x b -+=-+，当0b ≠时，方程组1)1k k⎧-+=⎪⎨=⎪⎩无解，故这样的直线不存在．当0b ==220k +=，解得k 或k =故这样的直线存在，其方程为y =或y =．【答案】⑴x x y y⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩；⑵(22y x =-；⑶这样的直线存在，其方程为y x 或y =．。