第十二章 辅助圆
模型1 共端点，等线段模型
如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．
如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．如图③，常见结论有：∠ACB ＝∠AOB ，∠BAC ＝∠BOC .
模型分析
∵OA ＝OB ＝OC .
∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．
∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．
∵∠ACB 是的圆周角，∠AOB 是的圆心角，∴∠ACB ＝∠AOB .
同理可证∠BAC ＝∠BOC .
（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．
（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．模型实例
如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ．
求证：∠1＋∠2＝90°.
证明
证法一：如图①，
∵AB ＝AC ＝AD ．∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上．　∴∠ABC ＝∠2.在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°.证法二：如图②，
∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ，∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上．延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ．
图①
O A
C B
图②
B
O
C
A
图③
O
A
B
C
121
2
AB AB 1
21
2
2
1B
C
D
A
∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．）∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE .
∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°．∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.
小猿热搜
1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B 与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．
证明
∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线．∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC .
∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．
∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∴∠2＝2∠EDB .又∵∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2.2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．
解答
以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ．∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA . ∵AC ＝AD ，∴∠DCA ＝∠CDA . ∴∠DAE ＝∠CAB .在△CAB 和△DAE 中．
图①
2
1C
D
A
B
1
2
P
B
A
C
E D
A D
21
P
E C
B
A C
B
D
B
C
E
D
A
∴△CAB ≌△DAE . ∴ED ＝BC ＝b ∵BE 是直径，∴∠EDB ＝90°.在Rt △EDB 中，ED ＝b ，BE ＝2a ，∴BD
．
模型2 直角三角形共斜边模型
模型分析
如图①、②，
Rt △ABC 和Rt △ABD 共斜边，取AB 中点O ，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC =OD =OA =OB ，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．
（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．模型实例
例1　如图，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条高，H 为垂线，问：（１）图中有多少组四点共圆？（２）求证：∠ADF ＝∠ADE ．
AD AC DAE CAB AE AB =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
解答
（１）６组
①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；
②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；
③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；
④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；
⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；
⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．
（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.
同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.
∴∠ADF＝∠ADE．
例2 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.
解答
如图，连接DB 、DF .
∵四边形ABCD 是正方形，且BF 是∠CBA 的外角平分线，∴∠CBF =45°，∠DBC =45°， ∴∠DBF =90°．又∵∠DEF =90°，
∴D 、E 、B 、F 四点共圆．
∴∠DFE =∠DBE =45°（同弧所对的圆周角相等）．∴△DEF 是等腰直角三角形．∴FE =DE ．
1.如图，锐角△ABC 中，BC.CE 是高线，DG ⊥CE 于G ，EF ⊥BD 于F ，求证：证明：由于Rt △BCE 与Rt △BCD 共斜边BC ，∴B 、C 、D 、E 四点共圆．∴∠DBC=∠DEG ，
同理，Rt ∠EDF 与Rt △DGE 共斜边DE ，∴D 、E 、F 、G 四点共圆．于是∠DEG=∠DFG ，因此，∠DBC=∠DFG ．于是FG ∥BC
2. 如图， BE.CF 为△ABC 的高，且交于点H,连接AH 并延长交于BC 于点D,求证：AD ⊥
BC.
FG BC
A
B
3.如图，等边△PQR 内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R 分别在边AD,AB,DC 上，M 是QR 的中点.求证：不论等边△PQR 怎样运动，点M 为不动点.
4.如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB,TE ⊥AC.求证：∠AHD=∠
AHE.
补充：A
B。